60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay Lớp 9

60 cách giải cho bài hình học đơn giản và hay lớp 9

Đề bài: Điểm C thuộc đường tròn (O; R) đường kinh AB sao cho AC < BC. Tiêp tuyến tại

A của (O) căt BC tại D. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại K.

Chứng minh: OD _|_ AK

Hướng dẫn giải (chỉ đưa ra cách giải sơ lược)

A/ Các cách chứng minh ở mức độ dễ

Cách 1

ACD ~ KCO (g – g) => => ACK ~ DCO (c – g – c)

=> . Lại có AC _|_ CD nên dễ suy ra OD _|_ AK

Cách 2

ABD ~ BKO (g – g) => => AOD ~ BKA (c – g – c)

=> . Lại có AB _|_ BK nên dễ suy ra OD _|_ AK

Cách 3

OD cắt BK tại M. Dễ chứng minh tứ giác ADBM là hình bình hành => AM // BD

Dễ thấy OK _|_ BD => OK _|_ AM. Từ đó O là trực tâm tam giác AMK => OD _|_ AK

Cách 4

OK cắt AD tại N. Dễ chứng minh tứ giác AKBN là hình bình hành => AK // BN

Dễ thấy OK _|_ BD và O là trực tâm tam giác BND => OD _|_ BN => OD _|_ AK

Cách 5

DeThi.edu.vn

Kẻ KE _|_ OD tại E. Dễ thấy (K, C, E, O, B) => => (A, D, C, E)

=> AE _|_ OD => A, E, K thẳng hàng hay OD _|_ AK

Cách 6

Kẻ AF _|_ OD tại F, tiếp tuyến tại B của (O) cắt AF tại L. Ta có: (A, D, C, F)

=> => (C, F, O, B). Dễ thấy (B, O, F, L) => (C, F, L, O, B)

=> CL _|_ CO => LC là tiếp tuyến của (O) => L trùng với K => AK _|_ OD

Cách 7

Gọi J là điểm đối xứng B qua D. Dễ thấy OD // AJ. ABD ~ BKO (g – g)

=> => DAJ ~ OAK (c – g – c)

=> => => AJ _|_ AK => OD _|_ AK

Cách 8

AK cắt (O) tại S, OK cắt BC tại I. Dễ thấy (K, S, I, B) =>

=> (A, O, I, S) mà dễ thấy (A, O, I, D) => (O, A, D, I, S) => DS _|_ OS => AK _|_ OD

Cách 9

Dễ thấy (B, O, C, K). Đường tròn qua 4 điểm B, O, C, K cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

ACD tại điểm thứ 2 là I khác C. =>

=> 3 điểm D, I, O thẳng hàng. Dễ thấy AI _|_ OD và KI _|_ OD => 3 điểm A, I, K thẳng

hảng hay OD _|_ AK

Cách 10

Đường thẳng qua O vuông góc với OD cắt BK tại T.

AOD ~ BTO (g – g) => AD.BT = OA.OB = R2

ABD ~ BKO (g – g) => AD.BK = AB.OB = 2R2

Từ đó suy ra BK = 2BT => TB = TK => AK // OT => AK _|_ OD.

Cách 11

OK cắt BC tại I. Dễ thấy (A, D, O, I). Đường tròn qua 4 điểm A, D, O, I cắt AK tại M khác

A. Dễ thấy => (K, M, I, B) => => M thuộc (O)

. Dễ thấy MD là tiếp tuyến của (O) => OD _|_ AK

Cách 12

Kẻ AH _|_ OD tại H. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AH tại L. Dễ thấy (A, H, C, D) và

(O, H, C, L) => => (L. C, O, B) => LB _|_ OB

=> L trùng với K => AK _|_ OD

DeThi.edu.vn

Cách 13

Kẻ AH _|_ OD tại H. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AH tại L. Dễ thấy OB2 = OA2 = OH.OD

=> OBH ~ ODB (c – g – c) => . Dễ thấy (O, H, B, L) => =>

. Lại có AL _|_ OD => OL _|_ BC => L trùng với K => AK _|_ OD

Cách 14

OK cắt BC tại I. OA2 = OB2 = OI.OK => OIK ~ OAK (c – g – c) và (A, D, I, O)

=> => OD _|_ AK

Cách 15

OK cắt BC tại I, AK cắt BC tại G. Kẻ GH _|_ KB tại H

OA2 = OB2 = OI.OK => OIK ~ OAK (c – g – c) và dễ thấy (A, D, I, O) và (K, G, I, H)

=> => 3 điểm A, I, H thẳng hàng

=> => OD _|_ AK

Cách 16

BC cắt OK và AK lần lượt tại I và G, AI cắt BK tại H, E là điểm đối xứng I qua O

Dễ thấy AE // BC và AI // BE => => HG // AB.

Dễ thấy (A, O, I, D) và (C, I, H, K) => => OD _|_ AK

Cách 17

Kẻ DH _|_ AK tại H, DH cắt AB tại L. Dễ thấy (A, D, C, H) =>

=> (K, C, H, B). Dễ thấy => (C, L, O, B) => (O, B, K C, L)

=> KC _|_ LC => L trùng với O => AD _|_ OK

B/ Các cách chứng minh ở mức độ trung bình

Cách 18

Kẻ AH _|_ OD tại H, OK cắt BC tại I. Dễ chứng minh: OK.OI = OB2 = OA2 = OH.OD

=> OHK ~ OID (c – g – c) =>

=> HK _|_ OD => 3 điểm O, H, K thẳng hàng => OD _|_ AK

Cách 19

OK cắt BC tại I, AK cắt BC tại G. Dễ thấy CDA ~ ICK (g – g) và AC // OK

Dễ chứng minh: =>

=> IC2 = ID.IG mà IC2 = IO.IK => ID.IG = IO.IK => IKG ~ IDO (c – g – c)

=> . Đến đây dễ chứng minh OD _|_ AK

DeThi.edu.vn