Chuyên đề Bất đẳng thức - Phần 1 Dùng AM-GM

BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN 1: DÙNG AM-GM

Câu 1. [bdt1] Chứng minh rằng với mọi sốthực dương a và b ta có 1

a + 1

b ≥ 4 a + b.

Câu 2. [bdt2] Chứng minh rằng với mọi sốthực dương a,b,c ta có 1

a + 1

b + 1

c ≥ 9 a + b + c.

Câu 3. [bdt3] Chứng minh với mọi a,b,c là các sốthực ta có a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 ≥8a2b2c2.

Câu 4. [bdt4] (TSĐH Khối D 2005) Cho x,y,z là các sốthực dương thoảmãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng p

1 + x3 + y3

xy +

p

1 + y3 + z3

yz +

√

1 + z3 + x3

zx ≥3 √

3.

Câu 5. [bdt5] Cho a,b,c là các sốthực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng p

a (b + c) + p

b (c + a) + p

c (a + b) ≥3 √

2abc.

Câu 6. [bdt6] Cho a,b,c là các sốthực dương thoảmãn điều a > b; a + b + c = 4. Tìm giá trịnhỏnhất của

biểu thức P = 4a + 3b + c3

(a −b) b.

Câu 7. [bdt7] (IMO 2012) Cho a2, a3, . . . , an là các sốthực dương thoảmãn điều kiệna2a3 · · · an = 1. Chứng minh rằng (1 + a2)2 (1 + a3)3 · · · (1 + an)n > nn.

Câu 8. [bdt8] Cho x,y,z là các sốthực chứng minh

−1

8 ≤(x + y) (y + z) (z + x) (1 −xy) (1 −yz) (1 −zx)

(1 + x2)2 (1 + y2)2 (1 + z2)2 ≤1

8.

Câu 9. [bdt9] Cho x, y, z là các sốthực dương thỏa mãn điều kiện x ≥max{y, z} . Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = x

y + 2 r

1 + y

z + 3 3 r

1 + z

x.

Câu 10. [bdt10] Chứng minh rằng với mọi a, b ≥1ta có a √

b −1 + b√a −1 ≤ab.

Câu 11. [bdt11] Cho

( 0 ≤x ≤3

0 ≤y ≤4 . Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = (3 −x) (4 −y) (2x + 3y) .

Câu 12. [bdt12] Cho a,b,c là các sốthực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = (a + 2b + 3c) (6a + 3b + 2c).

Câu 13. [bdt13] Cho a,b,c là các sốthực không âm có tổng bằng 3. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = (5a + b)(b2 + 4ac).

Câu 14. [bdt14] Chứng minh rằng với mọi sốthực dương a và b ta có q

2a (a + b)3 + b p

2 (a2 + b2) ≤3 a2 + b2 .

Câu 15. [bdt15] Cho a,b,c là các sốthực dương chứng minh 81abc a2 + b2 + c2 ≤(a + b + c)5.

Câu 16. [bdt16] Cho a,b,c là các sốthực dương chứng minh rằng

a + 3 r

ab · a + b

2 + 3√

abc ≤3 3 r

a · a + b

2 · a + b + c 3 .

Câu 17. [bdt17] Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có

yz 3 r

y3 + z3

2 + zx 3 r

z3 + x3

2 + xy 3 r

x3 + y3

2 ≤(x + y)3 + (y + z)3 + (z + x)3

8 .

Truy cập http://vungocthanh1984.blogspot.com/ gõ từkhóa [bdt1] đểxem lời giải Trang 1 DeThi.edu.vn

Câu 18. [bdt18] Cho a,b,c là các sốthực không âm chứng minh rằng

(a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥4 a2 + bc b2 + ca c2 + ab .

Câu 19. [bdt19] Cho a, b, c là các sốthuộc đoạn [0, 1]. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức A = (a −b) (b −c) (c −a) (a + b

Câu 20. [bdt20] Cho a,b,c là các sốthực dương có tổng bằng 1 chứng minh a + bc

b + c + b + ca

c + a + c + ab

a + b ≥2.

Câu 21. [bdt21] Cho a,b,c là các sốthực dương chứng minh

r

1 + a2

b + c +

r

1 + b2

c + a +

r

1 + c2

a + b ≥3.

Câu 22. [bdt22] Cho a,b,c là các sốthực dương. Chứng minh rằng

1 a2 + bc + 1 b2 + ac + 1 c2 + ab ≤a + b + c

2abc .

Câu 23. [bdt23] Cho a,b,c là các sốthực dương chứng minh

1 a3 + b3 + abc + 1 b3 + c3 + abc + 1 c3 + a3 + abc ≤ 1 abc.

Câu 24. [bdt24] Cho a,b,c là các sốthực dương thoảmãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng

a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 ≥3 √

3 2 .

Câu 25. [bdt25] Cho a,b,c là các sốthực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

ab √

c + ab + bc √

a + bc + ca √

b + ca ≤1

2.

Câu 26. [bdt26] Cho x,y,z là các sốthực dương thoảmãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng

1 x2 + 2y2 + 3 + 1 y2 + 2z2 + 3 + 1 z2 + 2x2 + 3 ≤1

2.

Câu 27. [bdt27] Cho a,b,c là các sốthực dương thoảmãn điều kiện 1

a + 1

b + 1

c = 1. Chứng minh rằng

a2

a + bc + b2

b + ca + c2

c + ab ≥a + b + c

4 .

Câu 28. [bdt28] Cho a,b,c là các sốthực dương. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = a + 3c a + 2b + c + 4b a + b + 2c − 8c a + b + 3c.

Câu 29. [bdt29] Cho a,b,c là các sốthực dương chứng minh s

a3

a3 + (b + c)3 +

s

b3

b3 + (c + a)3 +

s

c3

c3 + (a + b)3 ≥1.

Câu 30. [bdt30] Cho a, b, c là các sốthực dương chứng minh rằng r a b + c +

r

b c + a + r c a + b > 2.

Câu 31. [bdt31] Cho …