Chuyên đề Bất đẳng thức và các ứng dụng - Lê Việt Hưng

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng

1

Chuyên đề:

Bất đẳng thức và các ứng dụng

Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản :

1.1 Số thực dương, số thực âm

 Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu 0 a  Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu 0 a  Nếu a là số thực dương hoặc 0 a, ta nói a là số thực không âm, ký hiệu 0 a  Nếu a là số thực âm hoặc 0 a, ta nói a là số thực không dương, ký hiệu 0 a Chú ý:

 Với hai số thực ,a b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: a b  hoặc a b  hoặc a b   Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0  a "  Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0  a " Tính chất quan trọng i) 2 : 0   x R x (đẳng thức xảy ra khi 0 x ) ii) 2 0, ,    k x k N x R (đẳng thức xảy ra khi 0 x ) iii)

2 2 2 1 2 ... 0, ,       k k k n i x x x k N x R (đẳng thức xảy ra khi

1 2 ... 0 n x x x     )

1.2 Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a b  là một số dương, tức là 0 a b  . Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0 a b a b      Nếu a b  hoặc a b , ta viết b a . Ta có: 0 a b a b    

DeThi.edu.vn

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng

2

1.3 Định nghĩa 2

Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu A B  " A nhỏ hơn B ", ký hiệu A B  " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B  " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B  được gọi là một bất đẳng thức

Quy ước :

 Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu

rằng đó là một bất đẳng thức đúng.  Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó

đúng

1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

1.4.1 Tính chất 1. a b a c b c      

(Bắc cầu)

1.4.2 Tính chất 2. a b a c b c    (Cộng hai vế với cùng một số)

Hệ quả 1. a b a c b c    (Trừ hai vế với cùng một số)

Hệ quả 2. a c b a b c     (Chuyển vế)

1.4.3 Tính chất 3. a b a c b d c d        

(Cộng hai vế hai

bđt cùng chiều)

1.4.4 Tính chất 4. khi c > 0 khi c < 0 ac bc a b ac bc      

(Nhân hai vế với

cùng một số)

Hệ quả 3. a b a b   (Đổi dấu hai vế)

Hệ quả 4.

khi c > 0

khi c < 0

a b c c a b a b c c

    

  

(Chia hai vế với cùng

một số)

DeThi.edu.vn

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng

3

1.4.5 Tính chất 5. 0 0 a b ac bd c d        

(Nhân hai vế hai

bđt cùng chiều)

1.4.6 Tính chất 6. 1 1 0 0 a b a b      (Nghịch đảo hai vế)

1.4.7 Tính chất 7. n n b a N n b a      * ,0 (Nâng lũy thừa bậc n)

1.4.8 Tính chất 8. n b a N n b a      n * ,0 (Khai căn bậc n) Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : 2 2 b a b a    (Bình phương hai vế) Nếu a và b là hai số không âm thì : 2 2 b a b a    (Bình phương hai vế) 2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất.

2 2 0 , x , x x , -x x x x    

Với mọi R b a  , ta có :

 a b a b     a b a b   

 . 0 a b a b ab     

 . 0 a b a b ab      3. Bất đẳng thức trong tam giác

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :

 a > 0, b > 0, c > 0  b c a b c    

 c a b c a   

 a b c a b    

 a b c A B C      II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi

DeThi.edu.vn