Chuyên đề Hình học Lớp 9 Tứ giác nội tiếp

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm:

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp ®-

ờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nét tiếp)

2) §Þnh lÝ

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác

đó nội tiếp đờng tròn.

3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc).

Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới

mét gãc .

II) Bài tập

Bài tập 1 Cho ABC vuông ë A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ

BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b)

c) CA là phân giác của

Bài tập 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD

cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:

O A

B

C

D



· · ABD ACD =

·SCB

DeThi.edu.vn

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của BCF.

c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

Bài tập 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau

tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại

điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . DN = EN . BD

Bài tập 4 Cho tam giác ABC vuông ë A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng

kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm

thø hai F , G . Chøng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .

c) AC song song víi FG .

d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài tập 5 Cho tam giác vuông ABC ( ; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:

a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM là phân giác của góc .

c. .

Bài tập 6 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dùng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.

a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.

b/ Chứng minh LA là phân giác của c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL

0 90 A  

BCS  TA TC TD TB 

·MLN

DeThi.edu.vn

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ. e/ Chứng minh KLN cân.

Bài tập 7 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .

Bài tập 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng:

1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài tập 9 Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:

a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là …