Chuyên đề Đại số Lớp 9 Ứng dụng của hệ thức Vi-et

A. Lý thuyết: + Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 thì

S = x1 +x2 = P = x1.x2 =

+ Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Viét đảo)

B. Nội dung:Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm

là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 =

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là

x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = -

Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3x2 - 5x + 2 = 0 b) -7x2 - x + 6 = 0

Giải: a)Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = =

a) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - =

Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = 0 b) x2 + 6x +8 = 0

Giải: a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5 b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên x1 = -2, x2 = -4

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại

Giải: Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = . Theo hệ thức Viét ta có

x1x2 = mà x1= 2 nên x2 =

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta cóx1 x2 = mà x1 = 2 nên x2 =

.

Mặt khác x1+ x2 =  = 2 +  p =

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại

b a  c a

c a

c a

c a

2 3 c a

6 7

13

2 5 2

5 4

5 2

5 4

2

p

2

p 5 4

13

2

DeThi.edu.vn

Giải: Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1

Dạng 3: Xét dÊu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu có nghiệm thoả mãn: a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương c) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm

Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 - 2 x + 4 = 0 b) x2 + 5x - 1 = 0

c) x2 - 2 x + 1 =0 d) x2 + 9x + 6 = 0

Giải: a) Ta có  '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ' = 2; S = 2 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có  =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1

b) PT có hai nghiệm phân biệt đều âm khi

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau .

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi  1 - 2m = 0  m =

Điều cần chú ý ở đây là khi  < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vô nghiệm. Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)

Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c)

Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:

3

3

3

 

2 0 2 3 0 1 0 1 2 0 3 0 1 0 2

m m S m m P m

                 …