Chuyên đề bồi môn Toán Lớp 8

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8

1

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2: x3 – x2 - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4  , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện

một nhân tử là x – 2

Cách 1:

x3 – x2 – 4 =       3 2 2 2 2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2) x x x x x x x x x x            =    2 2 2 x x x   

Cách 2:    3 2 3 2 3 2 2 4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2) x x x x x x x x x x x                

=    2 2 2 2 4 ( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x             

Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

Nhận xét: 1, 5  không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = 1

3 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =     3 2 2 3 2 2 3 6 2 15 5 3 6 2 15 5 x x x x x x x x x x           

= 2 2 (3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5) x x x x x x x x         

Vì 2 2 2 2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0 x x x x x           với mọi x nên không phân tích được thành

nhân tử nữa

Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử

bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

DeThi.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8

2

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)

Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên

không phân tích được nữa

Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)

Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)

= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2

= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2

= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)

Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

DeThi.edu.vn