Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9

1

ĐỀ ÔN TẬP. Bài 5. Cho đường tròn , là một dây của có độ dài bằng và là điểm chính giữa của cung lớn . Gọi là điểm tùy ý trên cung nhỏ ( ). Trên tia lấy điểm sao cho . Kẻ đường thẳng qua song song với KM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành. b) Chứng minh tam giác là tam giác đều. c) Xác định vị trí của để tổng có giá trị lớn nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG 5 Hình vẽ

N

P

H

O

K

A B

M

Do

. Từ (1) (2) suy ra

và suy ra hay

Từ (3) (4): tứ giác là hình bình hành (cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau) Gọi là trung điểm của , khi đó

suy ra .

, tam giác là tam giác đều.

Do và , suy ra:

Từ đó ta có tam giác là tam giác đều. Có: . Dấu “=” xảy ra MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung bé

  ; O R AB  O 3 R K AB M BK , M B K  AM N AN BM  B  O P ANKP

KMN M MA MK MB  

» »  // 1 MK BP MB PK MB PK    

 2 MB AN   3 PK AN  » » KA KB  » » MB PK  » ¼ AP KM   4 PK AN P

ANKP

H AB OH AB  · 3 sin 2 AH AOH OA   · 0 60 AOH 

· · · 0 1 60 2 AKB AOB AOH    AKB

KM AP  KN AP  KM KN  · · 0 60 KMN ABK  

KMN

2 4 MA MK MB MA NM AN MA R        

DeThi.edu.vn

2

F

E

O

C B

A

.

Vậy: là điểm chính giữa của cung bé .

Bài 5. Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB). Cmr:

a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) EF.AB = AE.BC. c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động.

HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG 4 Hình vẽ

a) BCEF là tứ giác nội tiếp.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đpcm. b) EF.AB = AE.BC. BCEF nội tiếp (chứng minh trên)

Suy ra (cùng bù với góc BFE) Do đó (g.g)

Suy ra đpcm.

c) EF không đổi khi A chuyển động.

Ta có

Mà BC không đổi (gt), ABC nhọn A chạy trên cung lớn BC không đổi

không đổi không đổi.

Vậy không đổi đpcm. Cách khác. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF có: Tâm I là trung điểm

của BC cố định. Bán kính không đổi (vì dây BC cố định)

» BK

  ax 4 M MA MK MB R M     » BK

· o BFC 90  · o BEC 90 



· · AFE ACB  AEF ABC   : EF AE EF.AB BC.AE BC AB    

· AE EF.AB BC.AF EF BC. BC.cosBAC AB    

  ãBAC  · cosBAC  · EF BC.cosBAC  

BC R 2 

DeThi.edu.vn

3

Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là một đt cố định Vì Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (I) nên ta có:

(góc nội tiếp) (1)

Lại có: .

Mà dây BC cố định không đổi

có số đo không đổi

có số đo không đổi (2)

Từ (1) và (2) có số đo không đổi Dây EF có độ dài không đổi (đpcm). Bài 5. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O, C nằm giữa M và D.

1.Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp trong một đường tròn.

2.Chứng minh: MA2 = MC.MD.

3.Gọi trung điểm của dây CD là H, tia BH cắt O tại điểm F. Chứng minh: AF // CD

HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG

.

Kết hợp điều kiện (*) ta được .

4 Hình vẽ



· · » 1 FBE ECF Sd EF 2  

· · · 0 FBE ECF 90 BAC    ¼ Sd BnC 

· ¼ 1 BAC Sd BnC 2  

· · · 0 FBE ECF 90 BAC     » EF  

3 b 

F

H

D

C

B

O

A

M

DeThi.edu.vn