Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

1

CÁC CHUYÊN ĐỀBỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS Chuyên đề1: SỐCHÍNH PHƯƠNG

I- ĐỊNH NGHĨA: Sốchính phương là sốbằng bình phương đúng của một sốnguyên.

II- TÍNH CHẤT: 1- Sốchính phương chỉcó thểcó chữsốtận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thểcó chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2- Khi phân tích ra thừa sốnguyên tố, sốchính phương chỉchứa các thừa sốnguyên tốvới sốmũ chẵn. 3- Sốchính phương chỉcó thểcó một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có sốchính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 4- Sốchính phương chỉcó thểcó một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có sốchính phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ). 5- Sốchính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữsốhàng chục là chữsốchẵn. Sốchính phương tận cùng bằng 5 thì chữsốhàng chục là 2. Sốchính phương tận cùng bằng 6 thì chữsốhàng chục là chữsốlẻ. 6- Sốchính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Sốchính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Sốchính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 Sốchính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

III- MỘT SỐDẠNG BÀI TẬP VỀSỐCHÍNH PHƯƠNG.

A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐLÀ SỐCHÍNH PHƯƠNG. Bài 1: Chứng minh rằng mọi sốnguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y là sốchính phương.

Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4 y

= (

2 2 2 2 4 5 4 )( 5 6 ) x xy y x xy y y     

Đặt

2 2 5 5 ( ) x xy y t t Z     thì

A = (

2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 )( ) ( 5 5 ) t y t y y t y y t x xy y          

Vì x, y, z Z nên 2 2 2 2 , 5 , 5 5 5 x Z xy Z y Z x xy y Z       

Vậy A là sốchính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 sốtựnhiên liên tiếp cộng 1 luôn là sốchính phương. Giải : Gọi 4 sốtựnhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (

2 2 3 )( 3 2) 1 (*) n n n n    

Đặt 2 3 ( ) n n t t N    thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2

= (n2 + 3n + 1)2

Vì n N nên n2 + 3n + 1 N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là sốchính phương.

DeThi.edu.vn

2

Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là sốchính phương.

Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1

4 k (k + 1)(k + 2). 4= 1

4 k(k + 1)(k + 2).   ( 3) ( 1) k k   

= 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1

4 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Theo kết quảbài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là sốchính phương. Bài 4: Cho dãy số49; 4489; 444889; 44448889; . . . - Dãy sốtrên được xây dựng bằng cách thêm số48 vào giữa các chữsốđứng trước và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cảcác sốcủa dãy trên đều là sốchính phương. Ta có 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1

n chữsố4 n - 1 chữsố8 n chữsố4 n chữsố8 n chữsố4 n chữsố1

= 4.10 1 10 1 .10 8. 1 9 9

n n n    

=

2 2 4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1 9 9

n n n n n      

=

2 2.10 1 3

n       

Ta thấy 2.10n + 1 = 200...01 có tổng các chữsốchia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3

n - 1 chữsố0

=>

2 2.10 1 3

n       

Z hay các sốcó dạng 44 ... 488 ... 89 là sốchính phương.

Các bài tương tự: Chứng minh rằng sốsau đây là sốchính phương. A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1

2n chữsố1 n chữsố4 B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8

2n chữsố1 n+1 chữsố1 n chữsố6 C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7

2n chữsố4 n+1 chữsố2 n chữsố8 D = 22499 . . .9100 . . . 09

n-2 chữsố9 n chữsố0

DeThi.edu.vn