Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 10 Nguyên tố, hợp số

GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

1. Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số

Ví dụ 1. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện   2 2 a b 1 chia hết cho ab . Chứng

minh rằng   2 2 a b 1 ab là số nguyên tố.

Lời giải

Do   2 2 a b 1 chia hết cho ab nên tồn tại số nguyên dương k để    

2 2 a b 1 k 1 ab .

Ta cần chứng minh k là một số nguyên tố. Giả sử cặp số nguyên dương   0 0 a ; b thỏa mãn (1) và  0 0 a b nhỏ nhất .

Không mất tính tổng quát ta giả sử  0 0 a b .

Xét phương trình        

2 2

2 2 0

0 0 0

x b 1 k x kb x b 1 0 xb có ẩn x.

Khi đó 0 a là một nghiệm của phương trình trên. Do đó theo định lý Vi – et thì phương trình còn có

một nghiệm nữa. Gọi nghiệm đó là 1 a thì ta được       

0 1 0 2 0 1 0

a a kb

a .a b 1

Từ đó ta suy ra được 1 a nguyên dương và    

2 0 1 0 0

0

b 1 a kb a a

Nếu   0 0 a b 1 thì ta có         

2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0

b 1 a 2a 2 2 a a 2 a a a a

Do đó    1 0 0 0 a b a b , điều này trái với cách chọn  0 0 a b nhỏ nhất.

Do đó ta suy ra được  0 0 a b , khi đó ta được         2 2 2 0 0 0 0 2a 1 a 1 a a 1.

Từ đó suy ra  k 3 là số nguyên tố. Ví dụ 2. Giả sử bốn số nguyên a, b, c, d đôi một khác nhau và thoả mãn hệ điều kiện sau:

              

2 2

2 2 a 2ac 5d b 2bc 5d 0

c 2ca 5b d 2bd 5b 0 Chứng minh rằng   a b c d là một hợp số.

Lời giải Bài toán yêu cầu cầu chứng minh   a b c dlà một hợp số, như vậy ta sẽ đi chứng minh tổng đó chia hết cho một số nguyên khác 1 nào đó hoặc đi tìm giá trị của tổng. Quan sát giả thiết ta nhận thấy có dạng bậc hai nên ta sẽ quy về phương trình bậc hai để sử dụng định lí Vi – et. Từ hệ thức       2 2 a 2ac 5d b 2bc 5d 0 , nếu xét phương trình bậc hai có ẩn x là    2 x 2cx 5d 0 thì ta được a, b là nghiệm. Hoàn toàn tương tự ta xét phương trình   2 x 2ax 5b , khi đó c, d là ngiệm của phương trình.

Từ đó theo định lí Vi – et ta có     

a b 2c ab 5d và     

c d 2a

cd 5b Kết hợp hai hệ thức trên ta được  abcd 25bd nên suy ra  ac 25 Đồng thời ta có       a b c d 2 a c hay    a c b d .

Mặt khác từ giả thiết ta có       2 2 a 2ca 5d 0 a 5d 50 và       2 2 c 2ca 5b 0 c 5b 50 Từ các hệ thức trên ta có

DeThi.edu.vn

GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH          

          

2 2 2

2

a c 5(b d) 100 (a c) 2ac 5(a c) 100

a c 15 (a c) 5(a c) 150 0 a c 10

 Nếu   a c 15, mà    a c b d nên ta được    a b c d 30.  Nếu   a c 10 , khi đó kết hợp với  ac 25 ta được   a c 5 trái với giả thiết Vậy từ đó ta được    a b c d 30. Do đó suy ra   a b c d là hợp số.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu  n 2 1 là số nguyên tố    n 2 thì  n 2 1 là hợp số.

Lời giải Xét ba số tự nhiên liên tiếp là   n n n 2 1;2 ;2 1. Trưng ba số tự nhiên liên tiếp trên có duy nhất một số chia hết cho 3. Do  n 2 nên  n 2 1 3, mà theo giả thiết thì  n 2 1 là số nguyên tố, do đó  n 2 1 không chia hết cho 2. Lại có n 2 không chia hết cho 3. Do đó suy ra  n 2 1 chia hết cho 3. Mà do  n 2 nên   n 2 1 3. Từ đó ta được  n 2 1 là hợp số.

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn      x 1 2x 1

2012 là một số chính

phương thì x là hợp số. 2. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn  ab cd . Chứng minh rằng    n n n n a b c d là một bợp số.

3. Cho a, b, c là các số nguyên khác không và  a c thỏa mãn điều kiện  



2 2

2 2 a a b c c b

. Chứng minh

rằng   2 2 2 a b c không phải là số nguyên tố.

2. Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1. Tìm số nguyên tố p để  p 1 2 và  2 p 1 2 là các số chính phương.

Lời giải

Giả sử tồn tại các số nguyên dương x và y thỏa mãn   2 p 1 x 2 và  

2

2 p 1 y 2

Khi đó ta được 



     

2

2 2 p 1 2x 1

p 1 2y 2

.

Trừ theo vế của đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được          p p 1 2 y x y x 3

Suy ra ta được        2 y x y x p 4 .

Mặt khác từ …