Bài toán lập phương trình gây nhức đầu

Bài toán lập phương trình gây nhức đầu

Lời bàn: Giải bài toán bằng cách lập phương trình là dạng toán quen thuộc với học

sinh khối lớp 8. Tuy nhiên, có những bài với dữ liệu gây rối sẽ gây khó cho học sinh

khi giải. Tôi xin đưa ra ví dụ như sau

Bài 1: Số học sinh toàn trường khối 8 không đổi sau 1 năm học. Trong 1 năm có 2 học

kì là HKI và HKII. Số học sinh nam đạt HSG ở học kì I nhưng không đạt HSG ở HKII

chỉ bằng số học sinh nam đạt HSG ở học kì II nhưng không đạt HSG ở HKI . Số học

sinh nam đạt HSG duy nhất ở 1 học kì chỉ bằng số học sinh nữ chỉ đạt HSG duy

nhất ở 1 học kì. Số học sinh nữ đạt HSG ở HKI nhưng không đạt HSG ở HKII nhiều

hơn số học sinh nữ không đạt HSG cả 2 học kì là 100 bạn. Có 12% số học sinh toàn

trường không đạt HSG ở cả 2 học kì. Có 50 học sinh nam không đạt HSG ở cả 2 học

kì. Số học sinh nam đạt HSG ở HKI chỉ chiếm 24% số học sinh khối 8 toàn trường. Có

240 học sinh đạt HSG ở HKI nhưng không đạt HSG ở HKII. Số học sinh không đạt

HSG ở cả 2 học kì bằng số học sinh đạt HSG ở cả 2 học kì. Tính số học sinh khối 8

của trường học đó.

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Một bài toán trông có vẻ quá dài và phức tạp. Trong đó với các dữ liệu là

giới tính, số lượng đạt HSG ở học kì I và học kì II có đôi lúc không rõ ràng và mang

tính chung chung. Điều này sẽ gây khó khăn trong việc đặt ẩn phụ và giải quyết như

thế nào. Tuy nhiên, nếu tinh ý và nhận xét rằng ở mỗi học sinh chỉ cần xét 3 yếu tố đó

là: Giới tính, đạt HSG hoặc không đạt HSG ở HKI, tương tự cho học kì 2. Do vậy, ta

sẽ lập bảng phân định rõ ràng. Như vậy, tổng số học sinh khối 8 chia thành 8 thành

phần nhỏ như sau

HKI HKII

Nam KG KG

Nam G KG

Nam KG G

Nam G G

Nữ KG KG

DeThi.edu.vn

Nữ G KG

Nữ KG G

Nữ G G

Để đơn giản, ta sẽ kí hiệu. Ví dụ như Nam(KG + G) nghĩa là học sinh nam không đạt

HSG ở HKI nhưng đạt HSG ở HKII. Nam(G + KG) nghĩa là học sinh nam đạt HSG ở

HKI nhưng không đạt HSG ở HKII. Nam(G + G) nghĩa là học sinh nam đạt HSG ở

HKI và đạt HSG ở HKII. Tương tự cho các trường hợp khác

Gọi x là số học sinh toàn trường ĐK: (x > 0). Theo đề bài ta có

* Nam (KG + KG) = 50

* Nam (KG + KG) + Nữ (KG + KG) = 0,12x

=> Nữ (KG + KG) = 0,12x – 50

* Nữ (G + KG) – Nữ (KG + KG) = 100

=> Nữ (G + KG) = 100 + Nữ (KG + KG) = 100 + 0,12x – 50 = 50 + 0,12x

* Nam (G + KG) + Nữ (G + KG) = 240

=> Nam (G + KG) = 240 – Nữ (G + KG) = 240 – 50 – 0,12 = 190 – 0,12x

*

=> Nam (KG + G) = 228 – 0,144x

* Nam (G + KG) + Nam (G + G) = 0,24x

=> Nam (G + G) = 240 – Nam (G + KG) = 0,24x – (190 – 0,12x) = 0,36x – 190

*

Ta có Nam (G + KG) + Nam (KG + G) = 190 – 0,12x + 228 – 0,144x = 418 – 0,264x

=>15.(418 – 0,264x) = 11.Nữ (KG + G) + 11.Nữ (G + KG)

=> Nữ (KG + G) = 520 – 0,48x

*

Ta có Nam (KG + KG) + Nữ (KG + KG) = 0,12x

=>14. 0,12x = 9.Nam (G + G) + 9.Nữ (G + G)

=> Nữ (G + G) =

DeThi.edu.vn

Để dễ nhìn ta có bảng sau

HKI HKII

Nam KG KG 50

Nam G KG 190 – 0,12x

Nam KG G 228 – 0,144x

Nam G G 0,36x – 190

Nữ KG KG 0,12x – 50

Nữ G KG 50 + 0,12x

Nữ KG G 520 – 0,48x

Nữ G G

Theo đề bài ta có phương trình

50 + (190 – 0,12x) + (228 – 0,144x) + (0,36x – 190) + (0,12x – 50)

+ (50 + 0,12x) + (520 – 0,48x) + = x

 988 = 0  = 988  x = 750 (nhận)

Vậy số học sinh khối 8 của trường đó là 750 học sinh.

Bài 2. Tại thành phố A có 1 người đi xe máy khởi hành chạy về thành phố B và ở

thành phố B có 1 người lái ô tô khởi hành về thành phố A. Biết cả 2 xe khởi hành cùng

một lúc và vận tốc người lái ô tô lớn hơn vận tốc người đi xe máy là 20 km/h. Theo dự

định thì người đi xe máy chạy liên tục không nghỉ ngơi. Nhưng trên thực tế thì sau khi

đi được 1 giờ 30 phút, người đi xe máy dừng lại nghỉ ngơi trong 45 phút rồi đi tiếp, do

đó thời gian để 2 xe gặp nhau trễ hơn so với dự định là 18 phút. Tìm vận tốc mỗi xe,

biết vận tốc xe máy nhỏ hơn 60 km/h.

Nhận xét: Đây là bài toán có sự kết hợp giữa yếu tố 2 xe chuyển động ngược chiều và

yếu tố giả định kế hoạch. Bài này khó ở chỗ ta phải xác định trong các tiến trình

chuyển động thì hai xe gặp nhau ở …