Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong chương trình Đại số Lớp 8

1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Không có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên nhưng để giải nó người ta thường áp dụng một số phương pháp sau hoặc kết hợp các phương pháp tuỳ theo từng bài cụ thể. Sau đây là một số phương pháp thường dùng

I- Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:Ta có y2 – 2x2 = 1  y2 = 2x2 +1  y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

 x2 = 2 k2 + 2k  x chẵn , mà x nguyên tố  x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)( + y + x2 + x) = 105

Hướng dẫn:Ta có: (2x + 5y + 1)( + y + x2 + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ  2x + 5y + 1 lẻ  5y chẵn  y chẵn

+ y + x2 + x = + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn  lẻ  = 1  x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105

 5y2 + 6y – 104 = 0 y = 4 hoặc y = ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

 (x+1)4 – y2 = 1  [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1

(x+1)2 – y = 1 1 + y = 1- y

 (x+1)2 + y = 1 

(x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y

(x+1)2 + y = -1

 y = 0  (x+1)2 = 1  x+1 = 1  x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

5

26 

DeThi.edu.vn

2

Hướng dẫn: Ta giả sử x  y  z  t  1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

 2 = + + + +   t 3  15  t = 1 hoặc t = 2

* Với t = 1 ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz

 2 = + + +    15  z =

Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy (2x – 5) (2y - 5) = 65

 x = {

35 y = 3 hoặc {

x = 9 y = 5

Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng

Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên

* Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz 4= + + + 

   9  z = 2 (vì z t 2) (8x – 5) (8y – 5) = 265

Do x y z  2 nên 8x – 5  8y – 5  11 (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của PT là bộ (x, y, z)= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị

IV- Phương pháp loại trừ(phương pháp 4)

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1! + 2! + … + x! =

Hướng dẫn: Với x 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại)

Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x =

Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn

Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

Hướng dẫn: Ta có: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1

 (2x2 + x ) 2 - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) 2 - (2y+ 1)2 = x(x-2)

Ta thấy: Nếu x> 0 hoặc x< - 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0

Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0

 Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x2 + x) <(2y+1)2 < (2x2 + x + 1) 2 (loại)

 -1 x  2  x = 0, 1, -1, 2 Xét x = 2 y2 + y =30  y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1  y2 + y = 4 (loại)

Xét x = 0  y2 + y = 0  y (y + 1) = 0  y = 0 hoặc y = -1

yzt

5

xzt

5

xyt

5

xyz

5

xyzt

10

3 30

t

yz

5

xz

5

xy

5

xyz

15

z

2 30 z

2   3 ; 2 ; 1

xy

5

yz

5

xz

5

xyz

20

2 35

z

z

2

4 35

y

2

  4 ; 3 ; 2 ; 1

DeThi.edu.vn