Chuyên đề Hình học Lớp 8 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. 2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng. Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. Định lí 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng MH.MA = MB.MC. C. BÀI TẬP. Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB và HK vuông góc với AC.

a) Chứng minh 2 AH AI.AB  b) Chứng minh AIK  ACB 

c) Đường phân giác của AHB cắt AB tại E. Biết EB 2 AB 5  . Tính tỉ số BI

AI

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Kẻ BH vuông góc với CM, nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH ( N thuộc BC). Chứng minh rằng:

a) DHC  và NHB  đồng dạng b) MBH  và BCH  đồng dạng c) NB MB  Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Có AD = 6cm, AB = 8cm và hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với DB, D cắt tia BC tại E.

a) Chứng minh rằng BDE  và DCE  đồng dạng b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H.Chứng minh 2 DC CH.DB  c) Gọi K là giao điểmcủa OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và

tính tỉ số EHC

EDB

S S

C' B'

A'

C B

A

DeThi.edu.vn

2

d) Chứng minh OE, DC, BH đồng quy. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC ) và trung tuyến AD. Kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.

a) Chứng minh DCE  và DFB  đồng dạng b) Chứng minh AE.AC AB.AF 

c) Đường cao AH của tam giác ABC cắt EF tại I. Chứng minh

2 ABC

AEF

S AD S AI      

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm

a) Chứng minh 2 CA CH.CB  b) Kẻ AD là tia phân giác của   BAC D BC  . Tính HD. c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK vuông góc với BI tại K. chứng minh BHK  và BIC  đồng dạng. d) Cho AI = 8cm. Tính diện tích tam giác BHK. Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD; AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao cho DM = 2CM. Biết 0 AMB 90  a) Chứng minh DAM  và CMB  đồng dạng. Tính độ dài MC? b) Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với AB   K MB  c) Tia EK cắt AM tại H, Tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là phân giác của BMH Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) , vẽ đường cao AH (H thuộc BC) a) Chứng minh ABH  và CBA  đồng dạng. b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh CE.CA CD.CB  c) Chứng minh AE=AB d) Gọi M là trung điểm của BE, Chứng minh AH.MB AB.HM AM.BH   Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD), có AB = m, CD = n   n m  . Các điểm P, Q lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ//AB//CD và ABQP PQCD S S  . Chứng minh

rằng

2 2 2 m n PQ 2

 

Bài 8. Cho tam giác ABC cân đỉnh Avà H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng

BCI  và AOH  đồng dạng Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

a) Chứng minh rằng AED  và ABC  đồng dạng b) Cho biết ABC ADHE S 2S  . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân tại A Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, BC.

a) Chứng minh rằng: ADE

ABC

S AD.AE S AB.AC 

DeThi.edu.vn