Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 8 Chia hết

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT

A. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: 2. Tính chất:

- Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n

- Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c - Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p

- Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n luôn nhận được hai

số dư bằng nhau

- Trong n số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n

- Nếu thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho:

- Ta có:

- Ta có: với n là số tự nhiên lẻ

B. LUYỆN TẬP

Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp :

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta đều có: . HD:

Ta có: , như vậy ta cần chứng minh

.

Do là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3

Bài 2: Chứng minh rằng : HD :

Ta có:

Vì là ba số nguyên liên tiếp và

Bài 3: Chứng minh rằng:

HD:

  1 n 

  1 n 

  ;a b d  ax by d  

     1 1 .... b n n n n n n a b a b a a b a b           M

     1 1 .... n n n n n n a b a b a b a b a b           M

n 3 5 6 n n  M

  3 3 5 6 n n n n n    

   3 6 1 1 6 n n n n n     M M

   1 1 n n n  

3 11 6, n n n Z   M

     3 3 2 11 12 1 12 1 1 12 n n n n n n n n n n n n           

   1 1 n n n      1 1 6 n n n    M

3 12 6 11 6 n n n   M M

   1 2 1 6, A n n n n N     M

DeThi.edu.vn

Ta có:

Bài 4: Chứng minh rằng: lẻ HD:

Vì m là số lẻ, Đặt

Khi đó ta có :

Thay vào A ta được :

Vì là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy

Bài 5: Chứng minh rằng: chẵn HD:

Vì n chẵn, Đặt , Khi đó ta có:

, Thay vào A ta được:

, Vì là tích của 4 số tự nhiên

liên tiếp

Nên chia hết cho cả 3 và 8 Bài 6: Chứng minh rằng:

HD:

Ta có:

Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh HD:

Ta cần chứng minh và , ta có :

, Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp =>

Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số 4

Vậy A 8 Bài 8: Chứng minh rằng: HD:

Ta có:

là tích của 3 số nguyên liên tiếp

nên

Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia

hết cho 4, Nên

          1 1 2 1 1 1 2 6 A n n n n n n n n n n                M

3 2 3 3 48, m m m m     M

  2 1, m k k N   

       3 2 2 3 3 3 1 1 1 3 A m m m m m m m m           

2 1 m k      8 2 1 A k k k   

   1 2 k k k   M 48 AM

4 3 2 4 4 16 384, n n n n n     M

  2 , n k k N  

   4 3 2 2 4 4 16 4 4 A n n n n n n n        2 n k 

    16 2 1 1 A k k k k         2 1 1 k k k k   

  5 3 5 4 120, B n n n n N     M

          4 2 2 2 5 4 1 4 1 1 2 2 120 B n n n n n n n n n n n            M

4 3 2 14 71 154 120 24 A n n n n      M

3 AM 8 AM

        4 3 2 3 2 14 71 154 120 2 12 2 47 2 60 2 A n n n n n n n n n n n             

               2 2 3 9 3 20 3 2 3 3 5 4 A n n n n n n n n n n n                           2 3 4 5 A n n n n      3 AM

M M

M

4 3 2 6 11 6 24 n n n n    M

    4 3 2 6 11 6 1 2 3 A n n n n n n n n        

3 AM

8 AM

DeThi.edu.vn