Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Định lí ta-lét

CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT

A.Kiến thức:

1. Định lí Ta-lét:

* Định lí Ta-lét: ABC

MN // BC

   

 AM AN = AB AC

* Hệ quả: MN // BC  AM AN MN = AB AC BC 

B. Bài tập áp dụng:

1. Bài 1:

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song

song với AD cắt AC ở G

a) chứng minh: EG // CD

b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

a) Vì AE // BC  OE OA = OB OC (1)

BG // AC  OB OG = OD OA (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE OG = OD OC  EG // CD

b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên

2 AB OA OD CD AB CD = = AB CD. EG EG OG OB AB EG AB     

Bài 2:

Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông

cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.

Chứng minh rằng:

a) AH = AK

b) AH2 = BH. CK

Giải

Đặt AB = c, AC = b.

BD // AC (cùng vuông góc với AB)

nên AH AC b AH b AH b HB BD c HB c HB + AH b + c      

N M

C B

A

H

F K

D

C B

A

O

G E

D C

B

A

DeThi.edu.vn

Hay AH b AH b b.c AH AB b + c c b + c b + c      (1)

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK AB c AK c AK c KC CF b KC b KC + AK b + c      

Hay AK b AK c b.c AK AC b + c b b + c b + c      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK

b) Từ AH AC b HB BD c   và AK AB c KC CF b   suy ra AH KC AH KC HB AK HB AH    (Vì AH = AK)

 AH2 = BH . KC

3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự

tại E, K, G. Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK. EG

b) 1 1 1 AE AK AG  

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi

Giải

a) Vì ABCD là hình bình hành và K  BC nên

AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

2 EK EB AE EK AE = = AE EK.EG AE ED EG AE EG    

b) Ta có: AE DE = AK DB ; AE BE = AG BD nên

AE AE BE DE BD 1 1 = 1 AE 1 AK AG BD DB BD AK AG            

 1 1 1 AE AK AG   (đpcm)

c) Ta có: BK AB BK a = = KC CG KC CG  (1); KC CG KC CG = = AD DG b DG  (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = BK. DG = ab b DG  không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ

dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

4. Bài 4:

G

b

a

E K

D C

B A

DeThi.edu.vn

Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB,

BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vuông góc với FH

Giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG

Ta có CM = 1

2 CF = 1

3 BC BM 1 = BC 3  BE BM 1 = = BA BC 3

EM // AC  EM BM 2 2 = EM = AC AC BE 3 3   (1)

Tương tự, ta có: NF // BD  NF CF 2 2 = NF = BD BD CB 3 3   (2)

mà AC = BD (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1

3 AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG  · 0 EMG = 90 (4)

Tương tự, ta có: · 0 FNH = 90 (5)

Từ (4) và (5) suy ra · · 0 EMG = FNH = 90 (c)

Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c)  EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì

· 0 PQF = 90  · · 0 QPF + QFP = 90 mà · · QPF = OPE (đối đỉnh), · · OEP = QFP ( EMG = FNH)

Suy ra · · 0 EOP = PQF = 90  EO  OP  EG  FH

5. Bài 5:

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và

AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song

song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng

a) MP // AB

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

Giải

a) EP // AC  CP AF = PB FB (1)

Q

P O

N M

H F

G

E

D

C

B

A

DeThi.edu.vn