Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Số chính phương

CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. Số chính phương:

A. Một số kiến thức:

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác

Ví dụ:

4 = 22; 9 = 32

A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,…

+ Số 

n 11...1 = a thì 

n 99...9 = 9a 9a + 1 = 

n 99...9 + 1 = 10n

B. Một số bài toán:

1. Bài 1:

Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Giải

Gọi A = n2 (n N)

a) xét n = 3k (k N)  A = 9k2 nên chia hết cho 3

n = 3k  1 (k N)  A = 9k2  6k + 1, chia cho 3 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4

n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương

a) M = 19922 + 19932 + 19942

b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952

c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100

d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002

e) R = 13 + 23 + ... + 1003

Giải

a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3  M chia cho 3 dư 2 do đó M

không là số chính phương

DeThi.edu.vn

b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số

chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương

c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương

d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên

tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương

e) R = 13 + 23 + ... + 1003

Gọi Ak = 1 + 2 +... + k = k(k + 1)

2 , Ak – 1 = 1 + 2 +... + k = k(k - 1)

2

Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:

13 = A12

23 = A22 – A12

.....................

n3 = An2 = An - 12

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:

13 + 23 + ... +n3 = An2 =  

2 2

2 n(n + 1) 100(100 1) 50.101 2 2

              

là số chính phương

3. Bài 3:

CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.

a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1

A = (

n 11.....1 )(10 n+1 + 5) + 1

1

1 10 1.(10 5) 1 10 1

n

n 

     

Đặt a = 10n+1 thì A = a - 1

9 (a + 5) + 1 =

2 2 2 a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2 9 9 3       

b) B =

n 111.....1  

n - 1 555.....5  6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)

B =

n 111.....1  

n 555.....5   + 1 =

n 111.....1  . 10n +

n 555.....5   + 1 =

n 111.....1  . 10n + 5

n 111.....1         + 1

Đặt

n 11.....1  = a thì 10n = 9a + 1 nên

B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 = 

2

n - 1 33....34

c) C =

2n 11.....1 .+ 44.....4

n  + 1

Đặt a =

n 11.....1  Thì C =

n 11.....1 

n 11.....1  + 4.

n 11.....1  + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1

DeThi.edu.vn