Chủ đề 9 Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Hình học Lớp 7

hình 1  

D

C B A

hình 2  

a

C B A

hình 3   a

C

B

A

hình 4   y

x

O B A

CHỦ ĐỀ 9: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

Đây là kiến thức thường áp dụng đến chương 2 Hình Lớp 7

1. Phương pháp 1: (Hình 1)

* Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180o là góc bẹt

2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7

3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

* Nếu AB a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

* Hoặc chứng minh A; B; C cùng thuộc một đường trung trực

của một đoạn thẳng.

4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

* Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì

ba điểm O; A; B thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia

phân giác .

* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , thì

ba điểm O, A, B thẳng hàng.

5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung

điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

· · 0 180 ABD DBC  

 

· · xOA xOB 



DeThi.edu.vn

hình 6

//

//

N

M

A

E D

C B

hình 5

=

=

/ /

D

M

C

B

A

B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

I/ PHƯƠNG PHÁP 1

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx

và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.

Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

Do nên cần chứng minh

Hướng dẫn

Xét AMB và CMD có:

AB = DC (gt).

MA = MC (M là trung điểm AC)

Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

Mà (kề bù) nên .

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC

lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN.

Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh

Từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Hướng dẫn

ABC = ADE (c.g.c)

ACM = AEN (c.g.c)

Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng)

=>

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

· · 0 180 BMC CMD   · · 0 180 AMB BMC   · · AMB DMC 

 

· · 0 90 BAM DCM  

  · · AMB DMC  · · 0 180 AMB BMC   · · 0 180 BMC CMD  

· · 0 180 CAM CAN  

 

µ µ C E  

  · · MAC NAE   · · 0 180 EAN CAN   · · 0 180 CAM CAN  

DeThi.edu.vn

Hình 7

=

=

/

/

E D

N M

C B

A

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của

tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng

minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở

cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F

sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E

sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là

trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ Hai

tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C), trên By lấy

hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O,

D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng

minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

II/ PHƯƠNG PHÁP 2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên Các

đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung …