Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 Dãy số theo quy luật

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 (BD HSG) DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết

kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

... ... ...

Ta dự đoán Sn = n2

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)

Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có

1+3+5 +... + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)

Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

1, 1 + 2+3 + .... + n =

2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 =

3, 13+23 + ..... + n3 =

4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 (2n2 + 2n – 1)



2

)1 (  n n

6

)1 2 )( 1 (   n n n

2

2

)1 (

     n n

12

1

DeThi.edu.vn

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ II. Phương pháp khử liên tiếp:

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng

liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

.... .... .....

an = bn – bn+ 1

Khi đó ta có ngay:

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

Ví dụ 2: Tính tổng:

S =

Ta có : , , . ..,

Do đó :

S =

 Dạng tổng quát

Sn = (n > 1)

= 1-

Ví dụ 3: Tính tổng

Sn =

Ta có Sn =

Sn =

Sn =

100 . 99

1 ....... 13 . 12

1 12 . 11

1 11 . 10

1    

11

1 10

1 11 . 10

1   12

1 11

1 12 . 11

1   100

1 99

1 100 . 99

1  

100

9 100

1 10

1 100

1 99

1 ....... 12

1 11

1 11

1 10

1         

)1 (

1 ...... 3.2 1 2.1 1

    n n

1 1 1

   n

n n

) 2 )( 1 (

1 ...... 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1

      n n n

 

  



                     ) 2 )( 1 (

1 )1 (

1 2 1 ........ 4.3 1 3.2 1 2 1 3.2 1 2.1 1 2 1

n n n n

 

  



         ) 2 )( 1 (

1 )1 (

1 ...... 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1

n n n n

) 2 )( 1 ( 4

) 3 ( ) 2 )( 1 (

1 2.1 1 2 1

 

   

  



   n n

n n n n

DeThi.edu.vn

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Ví dụ 4: Tính tổng

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )

Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!

3.3! = 4! -3!

..... ..... .....

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!

= (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - 1

Ví dụ 5 : tính tổng

Sn =

Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1-

= 1-

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ 6 : Tính tổng

S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4)

Ta viết lại S như sau :

S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )

S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 )

=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101

S = 2101-1

Ví dụ 7: tính tổng

 

2 2 2 )1 (

1 2 ....... ) 3.2 (

5 ) 2.1( 3



   

n n

n

 

; )1 (

1 1

)1 (

1 2

2 2 2    



i i i i

i

 

  



            2 2 2 2 2 )1 (

1 1 ..... 3

1 2

1 ) 2

1

n n

2 2 )1 (

) 2 ( )1 (

1



   n

n n n

DeThi.edu.vn