Các bài toán liên quan đến lãi suất

1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT

PHẦN I. BỐN BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI KÉP (THƯỜNG GẶP): Để tiện diễn đạt, ở đây ta lấy lãi suất theo tháng. Tổng quát là tính theo kỳ hoặc kỳ hạn: kỳ hạn có thể là 1 tháng, 2 tháng, 3 tháng, 6 tháng, 1 năm…) Các công thức sau đây được chứng minh từ phương pháp qui nạp toán học và từ cách tính tổng các số hạng của cấp số nhân. Học sinh có thể không cần quan tâm đến cách chứng minh mà chỉ cần nhớ công thức và hiểu cách áp dụng để xử lý nhanh đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông. 1. Bài toán Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi khi đến kỳ hạn mà người gửi không đến rút ra thì được ngân hàng nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng . Tổng số tiền cả vốn và lãi khách hàng nhận được sau n tháng được cho bởi công thức:

(1) Lưu ý: + Nếu nói lãi suất là k%/tháng thì khi thay lãi suất vào tính toán ta phải

thay là chứ không phải chỉ thay là k. Chẳng hạn nói lãi suất là

0,7%/tháng thì thay vào tính toán phải là .

+ Hệ thức (1) có 4 đại lượng là Sn , A, r và n. Nếu biết được 3, ta tìm được đại lượng còn lại. +Tiền lãi sau n tháng là: Sn – A (lấy cả vốn lẫn lãi trừ ra vốn, còn lại lãi).

Ví dụ: Ông An gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng. Hỏi tối thiểu là bao nhiêu tháng ông An sẽ có được số tiền 600 triệu đồng cả vốn lẫn lãi? Lời giải: Áp dụng công thức (1) để tìm giá trị gần đúng của n rồi lấy số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng n, ta có:

Vậy ít nhất là 27 tháng thì ông An sẽ có được số tiền 600 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. 2. Bài toán Gửi tiền đều hàng tháng:

  1

n n S A r  

100

k

0,7 0,007 100 

  1,007 0,7 6 600 500. 1 6 5. 1,007 log 26,14 100 5

n

n n             

DeThi.edu.vn

2

Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng. Sau đó, cứ mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng lại đến gửi đều đều vào ngân hàng cùng một số tiền là A đồng. Tổng số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là :

(2)

Ví dụ: Bà Lành cứ đều đặn mỗi tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng một khoản tiền A đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% mỗi tháng. Biết sau 2 năm bà nhận được số tiền là 150 triệu đồng. Hỏi số tiền A bà Lành gửi hàng tháng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Lời giải : Ta có: 2 năm = 24 tháng; . Sử dụng công thức (2) tìm A, ta có:

.

Vậy số tiền A bà Lành gửi hàng tháng là 5 649 000 đồng.

3. Bài toán Rút tiền gửi xài dần hàng tháng: Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép là r/tháng. Sau đó, cứ mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng đến rút ra số tiền X đồng để xài. Sau n tháng, khách hàng nhận được số tiền còn lại được tính bởi công thức:

(3)

Ví dụ: Ông Hạnh gửi tiết kiệm ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ông Hạnh đến ngân hàng rút ra 6 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau 10 năm số tiền còn lại trong ngân hàng của ông Hạnh là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? Lời giải: 10 năm là 120 tháng. Áp dụng công thức (3), ta có:

Vậy, sau 10 năm số tiền còn lại trong ngân hàng của ông Hạnh là 1 290 271 000 đồng. 4. Bài toán Vay trả góp hàng tháng:

(1 ) 1 (1 )

n

n

r S A r r    

0,8% 0,008 

    24 0,008.150000000 5648887,659 (1 ) (1 ) 1 (1 0,008) (1 0,008) 1

n

n rS A

r r         

(1 ) 1 (1 )

n n n

r S A r X r     

120

120 120

(1 ) 1 (1 )

(1,0075) 1 1000000000.(1,0075) 6000000. 1290271416 0,0075

n n r S A r X r     

   

DeThi.edu.vn