Ôn tập Đại số Lớp 12 - Đạo hàm

ĐẠO HÀM A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

1.1. Định nghĩa: Cho hàm số  y f x  xác định trên khoảng   ; a b và   0 ; x a b  , đạo hàm của hàm số tại

điểm 0x là     

0

0 0

0 ' lim . x x

f x f x f x x x 

  

1.2. Chú ý: + Nếu ký hiệu     0 0 0 ; x x x y f x x f x      thì:

     

0

0 0 0 0 0 ' lim lim x x x f x x f x y f x x x x         .

+ Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm. 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số  y f x  có đồ thị  C

+   0 'f x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số  y f x  tại   0 0 0 , M x y C  .

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x  tại điểm   0 0 0 , M x y C  là

   0 0 0 ' y f x x x y    

2.2. Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:  s s t  tại thời điểm 0t là

  0 0 ' v t s t  .

+ Cường độ tức thời của điện lượng  Q Q t  tại thời điểm 0t là:   0 0 ' I t Q t  .

3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm. 3.1. Các quy tắc: Cho   ; ; : u u x v v x C   là hằng số.

+  ' ' ' u v u v   

+   . ' '. '. u v u v v u     . . C u C u     .

+   2 '. '. , 0 u u v v u v v v

       

2 . C C u u u

         

.

+ Nếu   , y f u u u x   . x u x y y u     .

3.2. Các công thức:

+   0; 1. C x    

+  

1 . n n x n x     , 2 n n    

1 . . . n n u nu u     

+     1 , 0 2 x x x       , 0 2

u u u u

     .

+   sin cos x x    sin . cos u u u     .

+   cos sin x x    cos .sin u u u     .

DeThi.edu.vn

+   2 1 tan cos x x   

2 2 tan '(1 tan ) cos

u u u u u       ; . 2 u k k           

+   2 1 cot sin x x  .  

2 2 cot '(1 cot ) sin

u u u u u         ; . u k k   

3.3. Một số công thức bổ sung:

+   2 sin ' sin2 x x  .

+   2 cos ' sin2 x x  .

+

 

2 '

ab cd ax b cx d cx d

        

.

+

 

2 2

2

2 0 0 '

ab ac ad x x d e de ax bx c dx e dx e

            

.

4. Vi phân. 4.1. Định nghĩa: + Cho hàm số  y f x  có đạo hàm tại 0x vi phân của hàm số  y f x  tại điểm 0x là:

    0 0 . df x f x x   .

+ Cho hàm số  y f x  có đạo hàm  f x  thì tích . f x x   được gọi là vi phân của hàm số  y f x  . Ký

hiệu:    . . df x f x x f x dx     hay . dy y dx   .

4.2. Công thức tính gần đúng:       0 0 0 . f x x f x f x x     .

5. Đạo hàm cấp cao. 5.1 Đạo hàm cấp hai:

+ Định nghĩa:   f x f x       

+ Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động  s f t  tại thời điểm 0t là   0 0 a t f t   .

5.2. Đạo hàm cấp cao: 

    1 , , 2 . n n f x f x n n          .

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG. I. Tính đạo hàm bằng định nghĩa. ● Cơ sở lý thuyết: Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau Cách 1: Theo quy tắc

+ Cho x một số gia x  và tìm số gia y  tìm    y f x x f x    . Lập tỉ số . y x  

+ Tìm giới hạn

0 lim

x

y x 

 

Cách 2: Áp dụng công thức:     

0

0 0

0 ' lim x x

f x f x f x x x 

   .

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:

a) 

3 2 1 f x x x    tại 0 2 x  . b) ( ) 2 1 f x x   tại 0 1 x .

DeThi.edu.vn