Hệ thống công thức môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022

Trang 1

A. HÀM SỐ

I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số: Cho hàm số  y f x 

+)  f ' x 0  ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+)  f ' x 0  ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc: +) Tính  f ' x , giải phương trình  f ' x 0  tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu  f ' x .

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Bài toán 2: Tìm m để hàm số   y f x,m  đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a,b thì    f ' x 0 x a,b  .

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a,b thì    f ' x 0 x a,b 

*) Riêng hàm số: ax b y cx d    . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y' 0 x D 

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y' 0 x D 

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a;b thì

  y' 0 x a,b

d x c

   

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a;b thì

  y' 0 x a,b

d x c

   

*) Tìm m để hàm số bậc 3 3 2 y ax bx cx d     đơn điệu trên R

+) Tính 2 y' 3ax 2bx c    là tam thức bậc 2 có biệt thức .

+) Để hàm số đồng biến trên R a 0

0    

+) Để hàm số nghịch biến trên R a a

0    

Chú ý: Cho hàm số

3 2 y ax bx cx d    

+) Khi a 0  để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k y' 0   có 2 nghiệm phân biệt

1 2 x ,x sao cho 1 2 x x k   .

+) Khi a 0  để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k y' 0   có 2 nghiệm phân biệt 1 2 x ,x

sao cho 1 2 x x k   .

DeThi.edu.vn

Trang 2

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số Dấu hiệu 1:

+) nếu   0 f ' x 0  hoặc  f ' x không xác định tại 0 x và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua 0 x

thì 0 x là điểm cực đại của hàm sô.

+) nếu   0 f ' x 0  hoặc  f ' x không xác định tại 0 x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x

thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm sô.

*) Quy tắc 1: +) tính y'

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y' 0  hoặc y' không xác định)

+) lập bảng xét dấu y'. dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Dấu hiệu 2:

cho hàm số  y f x  có đạo hàm đến cấp 2 tại 0 x .

+) 0 x là điểm cđ    

0

0

f ' x 0

f " x 0

    

+) 0 x là điểm cđ    

0

0

f ' x 0

f " x 0

     *) Quy tắc 2: +) tính   f ' x ,f " x .

+) giải phương trình  f ' x 0  tìm nghiệm.

+) thay nghiệm vừa tìm vào  f " x và kiểm tra. từ đó suy kết luận.

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3 Cho hàm số: 3 2 y ax bx cx d     có đạo hàm 2 y' 3ax 2bx c   

1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu y' 0   có 2 nghiệm phân biệt 0 

2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu y' 0   hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 

3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. +) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B. +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được:     y mx n y' Ax B     . Phần dư trong phép chia này là y Ax B  

chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu. Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

Cho hàm số: 4 2 y ax bx c    có đạo hàm   3 2 y' 4ax 2bx 2x 2ax b    

1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab 0  .

+) Nếu a 0 b 0    

hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.

+) nếu a 0 b 0    

hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.

2. hàm số có 3 cực trị khi ab 0  (a và b trái dấu).

DeThi.edu.vn