Lý thuyết Đại số Lớp 12 - Tổ hợp. Xác suất. Nhị thức Newton

TỔ HỢP - XÁC SUẤT - NHỊ THỨC NEWTON A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. I. Tổ hợp. 1. Hai quy tắc đếm: 1.1. Quy tắc cộng: a) Định lý: Nếu 1 2 .... n A A A A     và , i j A A i j   thì ta có 1 2 .... n A A A A     .

b) Quy tắc cộng: Một công việc được thực hiện theo k phương án 1 2 , ,...., k A A A . Có 1n cách thực hiện phương

án 1A , có 2n cách thực hiện phương án 2 A ,…và có kn cách thực hiện phương án kA . Khi đó công việc có thể

được thực hiện bởi 1 2 ... k n n n    cách.

Nhận xét: Bản chất toán học của quy tắc cộng là công thức tính số phần tử của hợp n tập hợp không giao nhau. 1.2. Quy tắc nhân: a) Định lý: Định lý 1: Cho trước hai tập hợp hữu hạn A và B. Nếu tồn tại một ánh xạ : f A B  sao cho mỗi phần tử

b B  có đúng k tạo ảnh trong A thì ta có A k B  .

Định lý 2: Cho trước các tập hợp hữu hạn 1 2 , ,...., n A A A , trong đó tập iA có đúng ik phần tử. Khi đó tập tích

Descartes 1 2 .... n A A A    có đúng 1 2 . .... n k k k phần tử. Tức là 1 2 1 2 .... .... n n A A A A A A        .

Đặc biệt:

n n A A  .

b) Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện bởi k giai đoạn 1 2 , ,...., k A A A . Có 1n cách thực hiện giai đoạn

1A , có 2n cách thực hiện giai đoạn 2 A ,…và có kn cách thực hiện giai đoạn kA . Khi đó công việc có thể được

thực hiện bởi 1 2.... k n n n cách.

2. Hoán vị, hoán vị lặp, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp. 2.1. Hoán vị: a) Hoán vị không lặp:

+ Cho một tập hợp A gồm n phần tử  1 n  . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho.

+ Số hoán vị của n phần tử là   ! 1 ...2.1 nP n n n   

b) Hoán vị lặp: + Hoán vị trong đó mỗi phần tử của A xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp.

+ Số hoán vị lặp k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử loại i   1 i n  xuất hiện ik lần thỏa

1

n

i i k k

  , ký

hiệu là   1 2

1 2

! , ,..., ! !... ! n

n

k P k k k k k k  .

c) Hoán vị vòng quanh:

+ Nếu ta xếp n số trên đường tròn thì hai hoán vị khác nhau    1,2,..., , 2,3,..., ,1 n n chỉ là một cách sắp xếp mà thôi.

+ Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức ( 1)!. n Q n  

2.2. Chỉnh hợp: a) Chỉnh hợp không lặp (dãy k phần tử không có lặp): + Cho một tập hợp A gồm n phần tử. Lấy ra một bộ gồm k   0 k n   phần tử từ A và sắp xếp theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A. Chú ý: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi có phần tử thuộc chỉnh hợp này nhưng không thuộc chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

DeThi.edu.vn

+ Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là k n A và      ! 1 ... 1 , 0 . !

k n

n A n n n k k n n k        

b) Chỉnh hợp lặp (dãy k phần tử có lặp): + Cho một tập hợp A gồm n phần tử. Lấy ra một dãy gồm k   0 k n   phần tử từ A (mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần) và sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc A.

+ Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc A , ký hiệu k k n A n  (bằng số ánh xạ từ tập k phần tử đến tập n phần tử). 3. Tổ hợp, tổ hợp lặp. 3.1. Tổ hợp không lặp:

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử   0 k n   thuộc A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử thuộc A. Chú ý: Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử khác nhau.

Định lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là k n C và   ! ! !

k n

n C k n k   .

3.2. Tổ hợp lặp: + Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tổ hợp lặp chập m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần tử mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A.

+ Ta dùng ký hiệu m n C để ký hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử và 1 m m n n m C C    .

4. Nguyên lý bù trừ: Định lý 1: (Công thức tính số phần tử của hai tập hợp hợp bất kỳ) Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì. Khi đó, ta có:

A B A B A B     

Định lý 2: (Công …