Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 7 Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng của tích phân

Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I, Nguyên hàm A- Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số ( ) f x xác định trên . K Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu: ( ) ( ), . F x f x x K ¢ = " Î

— Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì họ nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K là:

( ) ( ) , . f x dx F x C const C × = + = Î ò ¡

2. Tính chất: Nếu ( ), ( ) f x g x là 2 hàm số liên tục trên K và 0 k ¹ thì ta luôn có:

· ( ) ( ) . f x dx f x C ¢ = + ò · ( ) ( ) . kf x dx k f x dx = ò ò

· ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx é ù ± = ± ê ú ë û ò ò ò

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)



1

1 x x dx C

a a

a

+ × = + + ò

1 1 ( ) ( ) 1

n n ax b ax b dx C a n

+ + + × = × + + ò

 1 ln dx x C x × = + ò

1 1 ln dx ax b C ax b a × = × + + + ò

 2 1 1 dx C x x

× = - + ò 2 1 1 1 ( )

dx C a ax b ax b

× = - × + + + ò

 sin cos x dx x C × = - + ò 1 sin( ) cos( ) ax bdx ax b C a + = - + + ò

 cos sin x dx x C × = + ò 1 cos( ) sin( ) ax b dx ax b C a + × = × + + ò

 2 1 cot sin

dx x C x

× = - + ò 2

1 1 cot( ) sin ( )

dx ax b C a ax b

= - + + + ò

 2 1 tan cos

dx x C x

× = + ò 2

1 1 tan( ) cos ( )

dx ax b C a ax b

= + + + ò

 x x e dx e C × = + ò 1 ax b ax b e dx e C a

+ + × = × + ò

 ln

x x a a dx C a × = + ò 2 2

1 ln 2 dx x a C a x a x a

- = × + + - ò

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng ( ) ax b + thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a

×

Một số lưu ý

1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.

2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.

3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).

DeThi.edu.vn

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Định lý: Cho ( ) ( ) f u du F u C = + ò và ( ) u u x = là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ) ( ) ( ) . f u x u x dx F u x C é ù é ù ¢ × × = + ê ú ê ú ë û ë û ò

1. Đổi biến số dạng 1: đặt ( ). t x j =

· 1 1

2 2

( ) .

1 ( 1) . , 1 ( ) 2 .

PP n

m n

PP n n n

PP n

I f ax b xdx t ax b dt adx

x I dx t x dt n x dx ax I f ax b xdx t ax b dt ax dx

+ +

é = + × ¾ ¾ ắđ = + Þ = êê æ ö ê ÷ ç ê ÷ = × ¾ ¾ ắđ = + Þ = + ç ÷ ç ê ÷ ç + è ø êê = + × ¾ ¾ ắđ = + Þ = ờở

ò

ò

ò

với , . m n Î ¢

· ( ) ( ) n I f x f x dx ¢ = × × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt ( ), n t f x = trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.

·

1 (ln )

1 ( ln )

I f x dx x

I f a b x dx x

éê = × × êêê = + × × êë

ò

ò

PP ¾ ¾ ắđ Đặt ln

ln t x t a b x

é = ê × ê = + êë

· ( ) x x I f e e dx = × × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt . x t e =

· (cos ) sin I f x xdx = × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt cos sin . t x dt xdx = Þ = -

· (sin ) cos I f x xdx = × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt sin cos . t x dt xdx = Þ =

· 2 1 (tan )

cos I f x dx x = × ò

PP ¾ ¾ ắđ Đặt 2 2 1 tan (1 tan ) . cos t x dt dx x dx x = Þ = = +

· 2 1 (cot )

sin I f x dx x = × ò

PP ¾ ¾ ắđ Đặt 2 2 1 cot (1 cot ) . sin t x dt dx x dx x = Þ = - × = - +

· 2 2 (sin ;cos ) sin2 I f x x xdx = × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt

2

2 sin sin2

cos sin2

t x dt xdx

t x dt xdx

é = Þ = ê × ê = Þ = - êë

· (sin cos ) (sin cos ) I f x x x x dx = ± × × ò m PP ¾ ¾ ắđ Đặt sin cos . t x x = ±

2. Đổi biến số dạng 2: đặt ( ). x t j =

· 2 2 2 ( ) n I f a x x dx = - × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt .sin .cos . . x a t dx a t dt = Þ =

· 2 2 2 ( ) n I f x a x dx = + × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt 2 .tan

cos

adt x a t dx

t = Þ = ×

· 2 2 2 ( ) n I f x a x dx = - × ò PP ¾ ¾ ắđ Đặt 2 sin cos cos a a t x dx dt t t = Þ = × ×

1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP ¾ ¾ ắđ khai triển.

2. Tích các hàm mũ PP ¾ ¾ ắđ khai triển theo công thức mũ.

3. Chứa căn PP ¾ ¾ ắđ chuyển về lũy thừa.

4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP ¾ ¾ ắđ khai triển theo công thức tích thành tổng.

5. Bậc chẵn của sin và cosin PP ¾ ¾ ắđ Hạ …