Chuyên đề Toán Lớp 12 Tổ Hợp Xác suất - Lê Kỳ Hội

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 1

A. Lý thuyết cơ bản :

I. Qui tắc ñếm :

1. Qui tắc cộng : Một công việc nào ñó có thể thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. Nếu

phương án A có m cách tực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kỳ cách nào

trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện.

2. Qui tắc nhân : Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m

cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách

thực hiện

II .Hoán vị:

1. Giai thừa :

+ n! = 1.2.3…n = (n -1)!n.

+ Qui ước : 0! = 1.

+ ( )( ) ! 1 2 ... ! n p p n P = + + (Với n P > ).

+ ( ) ( ) ( ) ! 1 . 2 ... ! n n p n p n n p = − + − + − (Với n P > ).

2. Hoán vị Không lặp :

Một tập hợp gồm n phần tử ( ) 1 n ≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là

một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là : ! nP n = .

3. Hoán vị lặp :

Cho k phần tử khác nhau : 1 2 , ,..., k a a a . Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm 1n phần tử 1a , 2n

Chuyên ñề: Tổ Hợp – Xác suất

DeThi.edu.vn

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 2

phần tử 2a ,…, kn phần tử ka (với 1 2 ... k n n n n + + + = ) theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị

lặp cấp n và kiểu ( ) 1 2 , ,..., k n n n của k phần tử.

Số các hoán vị lập cấp n, kiểu ( ) 1 2 , ,..., k n n n của k phần tử là :

( ) 1 2 1 2

! , ,..., ! !... ! n k

k

n P n n n n n n =

4. Hoán vị vòng quanh :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín ñược gọi là một

hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là : ( ) 1 ! n Q n = − .

III. Chỉnh hợp:

1. Chỉnh hợp không lặp :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A ( ) 1 k n ≤ ≤ theo một thứ tự nào ñó

ñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : ( ) ( ) ( ) ! 1 ... 1 !

k n n A n n n k n k = − − + = −

Chú ý :

+ Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

+ Khi k = n thì ! n n n A P n = = .

2. Chỉnh hợp lặp :

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong ñó mỗi phần tử có thể ñược lặp lại nhiều

lần, ñược sắp xếp theo một thứ tự nhất ñịnh ñược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là : k k n A n = .

IV. Tổ hợp:

DeThi.edu.vn

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 3

1. Tổ hợp không lặp :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( ) 1 k n ≤ ≤ phần tử của A ñược gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là : ( ) ! ! !

k n n C k n k = − .

+ Qui ước : 0 1 n C = .

Tính chất :

+ 0 1 n n n C C = = .

+ k n k n n C C − = .

+ 1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + .

+ 1 1 k k n n n k C C k

− − + = .

2. Tổ hợp lặp :

Cho tập { } 1 2 , ,..., n A a a a = và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp

gồm k phần tử, trong ñó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là : 1 k k n n k C C + − = .

3. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp :

+ Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bỡi công thức : ! k k n n A k C = .

+ Chỉnh hợp : Có thứ tự Tổ hợp : không có thứ tự.

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử → chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp.

+ Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử ( ) k n ≤ .

- Không thứ tự, không hoàn lại : k n C .

- Có thứ tự, không hoàn lại : k n A .

DeThi.edu.vn