Ôn tập Đại số Lớp 12 - Chuyên đề Hàm số và ứng dụng đạo hàm

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và   y f x là một hàm số xác định trên K. Ta

nói:

+ Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

    1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

+ Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

    1 2 1 2 1 2 , ,      x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Nhận xét.

a.Nhận xét 1.

Nếu hàm số  f x và  g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số    f x g x cũng đồng biến

(nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu    f x g x .

b. Nhận xét 2.

Nếu hàm số  f x và  g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số

  . f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số

  , f x g x không là các hàm số dương trên D.

c. Nhận xét 3.

Cho hàm số   u u x , xác định với   ;  x a b và    ;  u x c d . Hàm số      f u x cũng xác định với

  ;  x a b . Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số   u u x đồng biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x đồng biến với

   ;   x a b f u đồng biến với   ;  u c d .

ii. Giả sử hàm số   u u x nghịch biến với   ;  x a b . Khi đó, hàm số      f u x nghịch biến với

   ;   x a b f u nghịch biến với   ;  u c d .

3. Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  ' 0,   f x x K .

4. Định lí 2.

DeThi.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu  ' 0,   f x x K thì hàm số f không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn   ;a b và    ' 0, ;   f x x a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn   ;a b .

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu  ' 0,   f x x K và  ' 0  f x chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f

đồng biến trên K . • Nếu  ' 0 f x  với mọi x K  và  ' 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm x K  thì hàm số f

nghịch biến trên K . Chú ý:

*) Riêng hàm số: ax b y cx d    . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì ' 0 y x D 

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì ' 0 y x D 

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng   ;a b thì

  ' 0 , y x a b

d x c

  

+

b a

f(b)

f(a)

f(x)

f'(x)

x

DeThi.edu.vn