Các chuyên đề luyện thi THPT môn Toán - Chuyên đề 1 Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1:TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x  xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.  Hàm số ( ) y f x  đồng biến (tăng) trên K nếu    1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x      .

 Hàm số ( ) y f x  nghịch biến (giảm) trên K nếu    1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x      .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng K .

 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số đồng biến trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số không đổi trên khoảng K .

 Chú ý.

 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số ( ) y f x  liên

tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ;a b và có đạo hàm  0, f x x K    trên khoảng   ;a b thì hàm số đồng biến trên đoạn

  ;a b .

 Nếu  0, f x x K    ( hoặc  0, f x x K    ) và  0 f x   chỉ tại một số điểm hữu

hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức ( ) P x

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức ( ) P x , hoặc giá trị của x làm biểu thức ( ) P x không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của ( ) P x trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x  trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm ( ) y f x    .

Bước 3. Tìm nghiệm của ( ) f x  hoặc những giá trị x làm cho ( ) f x  không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận.

1 Chuyên đề

DeThi.edu.vn

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( ) y f x  đồng biến, nghịch biến trên khoảng   ; a b cho trước.

Cho hàm số ( , )  y f x m có tập xác định D, khoảng ( ; )  a b D :

 Hàm số nghịch biến trên ( ; ) a b ' 0, ( ; )    y x a b

 Hàm số đồng biến trên ( ; ) a b ' 0, ( ; )    y x a b

 Chú ý: Riêng hàm số 1 1 a x b y cx d    thì :

 Hàm số nghịch biến trên ( ; ) a b ' 0, ( ; )    y x a b

 Hàm số đồng biến trên ( ; ) a b ' 0, ( ; )    y x a b * Nhắc lại một số kiến thức liên quan:

Cho tam thức 2 ( ) ( 0)     g x ax bx c a

a) 0 ( ) 0, 0      

a g x x b) 0 ( ) 0, 0      

a g x x

c) 0 ( ) 0, 0      

a g x x d) 0 ( ) 0, 0      

a g x x

 Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; ) a b :

 Bước 1: Đưa bất phương trình ( ) 0   f x (hoặc ( ) 0   f x ), ( ; )  x a b về dạng ( ) ( )  g x h m (hoặc ( ) ( )  g x h m ), ( ; )  x a b .

 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) g x trên ( ; ) a b .  Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của

tham số m.

4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương

trình: Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng ( )  f x m hoặc ( ) ( )  f x g m , lập bảng biến thiên

của ( ) f x , dựa vào BBT suy ra kết luận.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 1.1:

Câu 1. Cho hàm số   

1 1

x y x . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng     ;1 1;   . B. Hàm số đồng biến trên khoảng        ;1 1; .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và   1;. D. Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;1  và   1;.

Câu 2. Cho hàm số 3 2 3 3 2 y x x x     . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và   1;.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1 …