Ôn tập Đại số Lớp 11 - Chủ đề Tổ hợp, xác suất - Nguyễn Bảo Vương

51

CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

TỔ HỢP

Vấn đề 1. Quy tắc đếm

Phương pháp . 1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc H . Giả sử H có k phương án 1 2 k H ,H ,...,H thực hiện công việc H . Nếu có

1 m cách thực hiện phương án 1 H , có 2 m cách thực hiện phương án 2 H ,.., có

k m cách thực hiện phương án k H và mỗi cách thực hiện phương án i H không

trùng với bất kì cách thực hiện phương án j H (   i j;i,j 1,2,...,k   ) thì có

1 2 k m m ... m    cách thực hiện công việc H .

b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập 1 2 n A ,A ,...,A đôi một rời nhau. Khi đó:

1 2 n 1 2 n A A ... A A A ... A       

2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn 1 2 k H ,H ,...,H .

Công đoạn 1 H có 1 m cách thực hiện, công đoạn 2 H có 2 m cách thực hiện,…,

công đoạn k H có k m cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo

1 2 k m .m ...m cách.

b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập 1 2 n A ,A ,...,A đôi một rời nhau. Khi đó:

1 2 n 1 2 n A A ... A A . A ..... A     .

3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?

Tài liệu toán tác giảNguyễn Phú khánh, chúng tôi trích ra 1 phần tài liệu đểquý thầy cô tham khảo, cần tài liệu liên hệZalo 0988166193 nhé

DeThi.edu.vn

52

4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn 1 2 n H ,H ,...,H và đếm số cách thực hiện

mỗi giai đoạn i H ( i 1,2,...,n  ).

Nhận xét: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau Cách 1: Đếm trực tiếp

 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó  Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp ta phải chia hành động trong mỗi trường hợp đó thành phương án hành động nhỏ liên tiếp nhau Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phương án thực hiện các hành các hành động nhỏ đó. * Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là: +) Tất cả n phần tử đều phải có mặt +) Mỗi phần tử xuất hiện một lần. +) Có thứ tự giữa các phần tử. * Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. * Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi +) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần +) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn. Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.

 Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là:  a b . 2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản

Tài liệu toán tác giảNguyễn Phú khánh, chúng tôi trích ra 1 phần tài liệu đểquý thầy cô tham khảo, cần tài liệu liên hệZalo 0988166193 nhé

DeThi.edu.vn