Ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 2 Giới hạn hàm số

Trang 1

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng K chứa điểm 0x . Ta nói rằng hàm số ( ) f x xác định trên K (có thể

trừ điểm 0x ) có giới hạn là L khi x dần tới 0x nếu với dãy số ( ) nx bất kì, 0 \ nx K x  { } và 0 nx x  , ta

có ( ) n f x L  . Ta kí hiệu:

0 lim ( ) x x f x L   hay ( ) f x L  khi 0 x x  .

Các giới hạn đặc biệt:

0

0 lim x x x x   ;

0 lim x x c c  

b) Giới hạn vô cực + Ta nói hàm số ( ) y f x  có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy số ( ) nx

thỏa 0 nx x  thì ( ) n f x . Kí hiệu

0 lim ( ) x x f x  .

+ Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực + Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay 0x bởi  hoặc .

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực

+ Ta nói hàm số ( ) y f x  xác định trên   ;a  có giới hạn là L khi x  nếu với mọi dãy số ( ) nx

thỏa nx a  và nx  thì ( ) n f x L  . Kí hiệu: lim ( ) x f x L   .

+ Ta nói hàm số ( ) y f x  xác định trên ( ; ) b  có giới hạn là L khi x  nếu với mọi dãy số ( ) nx

thỏa nx b  và nx  thì ( ) n f x L  . Kí hiệu: lim ( ) x f x L   .

Các giới hạn đặc biệt:

+ lim

x c c   ; lim 0 x

c x   với c là hằng số

+ lim k

x x   với k nguyên dương; lim k

x x  với k lẻ, lim k

x x  với k chẵn

3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1: a. Nếu

0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x L g x M     thì

 

0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M     ;

 

0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M   ;

0

( ) lim ( 0) ( ) x x

f x L M g x M   

b. Nếu

0 ( ) 0, lim ( ) x x f x f x L    thì

0 lim ( ) x x f x L  

c.

0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L         

Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ

Bài 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

•Chương 4. GIỚI HẠN

DeThi.edu.vn

Trang 2

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực. Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số ( ), ( ), ( ) f x g x h x xác định trên K chứa điểm 0x (có thể các hàm đó không xác định tại 0x ).

Nếu ( ) ( ) ( ) g x f x h x x K    và

0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x g x h x L     thì

0 lim ( ) x x f x L   .

Các giới hạn đặc biệt

+

2

( ) lim k

x

x

x 



;

2 1

( ) lim ( ) k

x

x

x 







+

0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( 0) ( ) x x x x

k f x k f x      .

4. Giới hạn vô cực

a) Quy tắc 1. Cho

0 0 lim ( ) ; lim ( ) 0 x x x x f x g x L      . Ta có:

0 lim ( ) x x f x  Dấu của L  

0 lim ( ). ( ) x x f x g x 

      

b) Quy tắc 2. Cho 

0 0 lim ( ) ; lim 0; 0 x x x x f x L g x L      . Ta có:

Dấu của L Dấu của  g x

0

( ) lim ( ) x x

f x g x 

+       II. Giới hạn một bên 1. Giới hạn hữu hạn

a) Định nghĩa 1 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng    0 0 ; , x b x R  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là

số thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy số bất kì   nx những số thuộc khoảng

  0; x b mà 0 lim nx x  ta đều có   lim n f x L  . Khi đó ta viết



0 lim x x f x L    hoặc  f x L  khi 0 x x   .

b) Định nghĩa 2 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng    0 0 ; , a x x R  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số

thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy bất kì   nx những số thuộc khoảng   0 ;a x

mà 0 lim nx x  ta đều có   lim n f x L  Khi đó ta viết



0 lim x x f x L    hoặc  f x L  khi 0 x x   .

Chú ý: 1.   

0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x L f x f x L          .

2. Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay 0 x x  bởi 0 x x   hoặc 0 x x   . 2. Giới …