Ôn tập Đại số Lớp 11 - Phương trình lượng giác

Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 1. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos2 2cos 2 0 x x + - = trên đoạn [ ] 0;3p .

A. 17 . 4 T p = B. 2 . T p = C. 4 . T p = D. 6 . T p =

Lời giải. Phương trình ( ) 2 2cos2 2cos 2 0 2 2cos 1 2cos 2 0 x x x x + - = Û - + - =

( )

2

2 cos 2 2 4cos 2cos 2 2 0 cos 2 2 1 cos 2

x x x x

x

éê = êê Û + - - = Û Û = ê + ê = - êë

loaïi

[ ]

[ ]

0;3

0;3

9 2 ; 9 7 17 4 4 4 . 7 4 4 4 4 2 4 4

x

x

x k x x

T x k x

p

p

p p p p p p p p p p p

Î

Î

éê = + ¾ ¾ ắắđ = = ê Û ¾ ắđ = + + = êê = - + ¾ ¾ ắắđ = ờờở

Chọn A.

Câu 2 . Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2 3sin 4 0 x x + + = trên đường tròn lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 1 2sin 3sin 4 0 2sin 3sin 5 0 x x x x Û - + + = Û - + + =

( ) ( ) sin 1

sin 1 2 . 5 2 sin 2

x

x x k k x

p p é = - êê Û Û = - Û = - + Î ê = êë

¢ loaïi

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A.

Câu 3. Cho phương trình cos cos 1 0 2 x x + + = . Nếu đặt cos 2

x t = , ta được phương trình nào sau

đây?

A. 2 2 0. t t + = B. 2 2 1 0. t t - + + = C. 2 2 1 0. t t + - = D. 2 2 0. t t - + =

Lời giải. Ta có 2 cos 2cos 1. 2 x x = -

Do đó phương trình 2 2 2cos 1 cos 1 0 2cos cos 0. 2 2 2 2 x x x x æ ö÷ ç Û - + + = Û + = ÷ ç ÷ çè ø

Đặt cos 2

x t = , phương trình trở thành 2 2 0. t t + = Chọn A.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình 5 cos2 4cos 3 6 2 x x p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø thuộc [ ] 0;2p là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải. Ta có 2 2 cos2 1 2sin 1 2cos 3 3 6 x x x p p p æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç + = - + = - - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø.

Do đó phương trình 2 3 2cos 4cos 0 6 6 2 x x p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç Û - - + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø

( )

1 cos 2 6 2 1 6 cos 2 , 6 2 6 3 3 2 cos 2 6 2

x x k x x k k x k x

p p p p p p p p p p

é æ ö é ÷ ç ê - = ÷ ê = - + ç ÷ ç ê è ø æ ö ê ÷ ç ê Û Û - = Û - = ± + Û Î ÷ ê ç ÷ ê çè ø æ ö ê ÷ ê ç = + ê - = ÷ ç ê ÷ ç ê è ø ë ë

¢ loaïi

.

Ta có [ ] 0;2 11 2 6 6

x x k x p p p p

Î = - + ¾ ¾ ¾¾® = ; [ ] 0;2 2 2 2

x x k x p p p p

Î = + ¾ ¾ ¾¾® = .

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan cot 8 x m x + = có nghiệm.

A. 16. m > B. 16. m < C. 16. m ³ D. 16. m £

Lời giải. Phương trình 2 tan cot 8 tan 8 tan 8tan 0 tan

m x m x x x x m x + = Û + = Û - + = .

DeThi.edu.vn

Luyện tập Toán 11 * GV Võ Nhật Tuân

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( )

2 4 0 16 m m ¢ D = - - ³ Û £ . Chọn D. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( ) cos2 2 1 cos 1 0 x m x m - + + + = có nghiệm trên khoảng 3 ; 2 2 p p æ ö÷ ç ÷ ç ÷ çè ø.

A. 1 0 m - £ £ . B. 1 0 m - £ < . C. 1 0 m - < < . D. 1 1 2 m - £ < .

Lời giải. Phương trình ( ) 2

1 cos 2cos 2 1 cos 0 . 2 cos

x x m x m

x m

éê = ê Û - + + = Û ê = êë

Nhận thấy phương trình 1 cos 2 x = không có nghiệm trên khoảng 3 ; 2 2 p p æ ö÷ ç ÷ ç ÷ çè ø (Hình vẽ). Do đó yêu

cầu bài toán cos x m Û = có nghiệm thuộc khoảng 3 ; 1 0 2 2 m p p æ ö÷ ç Û - £ < ÷ ç ÷ çè ø .

Chọn B. Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;10 - để phương trình ( ) 2 2 11sin 2 sin 2 3cos 2 x m x x + - + = có nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 9sin 2 sin 2 cos 0 x m x x Û + - + =

( ) ( ) 1 cos2 1 cos2 9. 2 sin 2 0 2 sin 2 4cos2 5. 2 2 x x m x m x x - + Û + - + = Û - - = -

Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 2 5 2 16 25 2 9 1 m m m m

é ³ ê Û - + ³ Û - ³ Û ê £ - ë

[ ] { } 10;10 10; 9;...; 1;5;6;...;10 m m m Î Î - ¾ ¾ ¾ ắđ Î - - - ¾ ắđ ¢ có 16 giá trị nguyên. Chọn A.

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình

( ) ( ) 2 2 sin 2 1 sin cos 1 cos x m x x m x m - - - - = có nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Lời giải. Phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 1 sin 2 1 sin cos 2 1 cos 0 m x m x x m x Û - - - - - =

( ) ( ) ( ) 1 cos2 1 cos2 1 . 1 sin 2 2 1 . 0 2 2 x x m m x m - + Û - - - - - =

( ) …