Các chuyên đề Đại số Lớp 11 - Chuyên đề 11 Phương pháp hàm số với các bài toán cực trị - Vũ Tuấn Anh

207

CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải các bài toán cực trị. Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực trị bằng phương pháp hàm số.

1. Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng Ví dụ 1. Chứng minh rằng

a)

b) thỏa mãn x + y + z = 3.

Lời giải:

a) Xét hàm số . Ta có

và

Ta có bảng biến thiên

x 1

f’(x) + 0 - f(x) 2

-1 1

Từ bảng biến thiên suy ra .

b) Áp dụng câu a ta có

Tương tự

Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có

(đpcm).

Ví dụ 2. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng . Lời giải:

Xét hàm số trên R. Ta có

và .

2

1 2, 1

x x x x

    

2 2 2 1 1 1 3, , , x x y y z z x y z       

 2

1 , 1

x f x x x x

    

¡      2 2 3 1

2 1 1

x f x

x x x x

  

   

   0 1; lim 1, lim 1 x x f x x f x f x        

 

  1 2, f x f x   

  2

2

1 1 2, 1 1 (1) 2 1

x x x x x x x

       

      2 2 1 1 1 1 2 ; 1 1 3 2 2 y y y z z z      

  2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 x x y y z z x y z          

8 8 8 2 2 2 a b c a b c     

  

3 2 2 2 ln 2 x x f x x   

     

2 3. 2 .ln 2 2 .ln 2 2ln 2 2 1 3.2 2 ln 2 x x x x f x       

 0 2 1 0 x f x x     

DeThi.edu.vn

208

Ta có bảng biến thiên

x 0 f’(x) - 0 + f(x)

0

Suy ra

Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khối D năm 2006)

Chứng minh rằng .

Lời giải:

Ta có

Xét hàm số với x > 0. Ta có

,

nên f là hàm nghịch biến trên . Do đó (đpcm).

Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

.

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi ta có .

Bài 3: Chứng minh rằng .

Tổng quát: Với a, b > 0 và x > y > 0 ta có .

Bài 4: Cho . Tìm GTLN của .

 

 

    0, 0 f x x R f a f b f c      

  8 8 8 (2 2 2 ) 2 ln 2 0 8 8 8 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c                

1 1 2 2 , 0 2 2

b a a b a b a b                 

1 1 1 4 1 4 2 2 2 2 2 2

b a b a a b a b a b a b                               

            ln 1 4 ln 1 4 1 4 1 4 ln 1 4 ln 1 4

a b b a b a a b a b

a b

           

   ln 1 4

x f x x

 

       2 4 ln 4 1 4 ln 1 4 0 1 4

x x x x

x f x x

      

  0;   f a f b 

2 2 2 1 a b c   

2 2 2

3 3 1 1 1 2 a b c a b c      

  , 0;1 , x y x y   1 ln ln 4 1 1 y x y x y x                2 3 2 3 , 0 y x x y y x x y     

   

y x x y y x a b a b   

3 3 , 0; 1 x y x y    2 A x y  

DeThi.edu.vn

209

Bài 5: (VMO, 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm GTLN

và GTNN của biểu thức .

Bài 6: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xyz = 4. CMR:

.

2. Phương pháp dồn dần về một biến Đối với các bài toán cực trị nhiều biến, ta thường phối hợp với phương pháp chặn các biến bằng cách: sử dụng BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT phụ hoặc sử dụng hàm số,....đưa dần về một biến để khảo sát.

Ví dụ 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Nhìn biểu thức của ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy là biểu thức có đối xứng với , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến bằng nhau. Ta chứng

minh và sử dụng bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi hai biến số và bằng

nhau. Khi đó ta có . Bây giờ thì

việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số trên khoảng

.

Ta có , . Lập bảng biến thiên

của hàm số trên khoảng ta có:

, suy ra .

Vậy khi và chỉ khi .

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

.

Lời giải Đặt . Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng …