Luyện tập Hình học Lớp 11 - Chuyên đề 8 Hình học không gian - Vũ Tuấn Anh

108

α

O H

M

b' c'

h

a

c b

A

B C H M

ha

c b

a

A

B C

CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1. Kiến thức liên quan 1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho vuông ở A Định lý Pitago: hay

 hay

 hay

 hay

 1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường  Định lý hàm số Côsin:

 Định lý hàm số Sin:

1.1.4. Các công thức tính diện tích. a. Công thức tính diện tích tam giác.







S = pr

 với (Công thức Hê-rông)

Đặc biệt:

 vuông ở A:

 đều cạnh a:

sin MH OM   

cos OH OM   

tan MH OH   

cot OH MH   

ABC 

2 2 2 BC AB AC   2 2 2 a b c  

2 2 . ; . BA BH BC CA CH CB   2 2 . ', . ' b a b c a c  

. . AB AC BC AH  bc ah 

2 2 2 1 1 1 AH AB AC   2 2 2 1 1 1 h b c  

2 BC AM 

2 2 2 2 .cos a b c bc A   

2 sin sin sin a b c R A B C   

1 1 1 . 2 2 2 a b c S a h bh ch   

1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B   

3

.

183 . 8 ABC A B C ABC

a V S AA    

( )( )( ) S p p a p b p c     2 a b c p   

ABC  1 . 2 S AB AC 

ABC 

2 3

4 a S 

DeThi.edu.vn

109

H.4 H.3 H.2 H.1

a

h n m

b

a b

a

a

G

M C B

A

a

a

a

a

H.5 H.6 H.7

h h

B B

a

a

c

b a

a

h

B

b. Diện tích hình vuông cạnh a: (H.1) c. Diện tích hình chữ nhật: (H.2)

d. Diện tích hình thoi: (H.3)

e. Diện tích hình thang: (H.4)

1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng

 Đường chéo hình vuông cạnh a là (H.5)

 Đường cao tam giác đều cạnh a là (H.6)

 Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì (H.7)

1.1.6. Thể tích khối đa diện a. Thể tích khối lăng trụ

 Thể tích khối lăng trụ: , với B là diện tích đáy ; h là chiều cao Thể tích khối hộp chữ nhật: , với a, b, c là chiều dài, rộng, cao Thể tích khối lập phương: với a là cạnh

b.Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp: , với B là diện tích đáy, h là chiều cao

2 S a  . S a b  1 . 2 S m n 

  1 2 S h a b  

2 d a 

3 2 a h 

2 3 AG AM 

V Bh  V abc 

3 V a 

1 3 V Bh 

DeThi.edu.vn

110

H A D

B C

S

1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích

Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,…

a. Thể tích khối chóp.

Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a. Lời giải.

Vì nên

*Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp cần chính xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê một số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Lời giải

Gọi H là tâm của hình vuông Vì là hình chóp đều nên

Do đó,

Vì ABCD là hình vuông nên (đvdt)

Ta có nên vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên

(đvtt)

*Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy Ví dụ 3.

3 a

  SH ABCD 

  . D

2 3

1 1 . . 3 3 1 5 5 3 3 3 8 24

S CDMN CDMN ABC BCM AMN V SH S SH S S S

a a a

   

 

.S ABCD   SH ABCD 

.

1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 

2 2 ABCD S AB a  

2 2 2 2 2 2 2 SA SC AB BC AC a      SAC 

2 2 2 AC a SH  

2 3 .

1 1 2 2 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD

a V SH S a a    

H

D C

A B

S

M

N

DeThi.edu.vn