Chuyên đề Toán 11 - Giới hạn

I. Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:

1 lim 0 n n   ; 1 lim 0 ( ) k n k n



  ¢

lim 0 ( 1) n

n q q    ; lim

n C C  

2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b

 lim n

n

u a v b  (nếu b  0)

b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim

n u a 

c) Nếu n n u v  ,n và lim vn = 0

thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1

u

q    1 q 

1. Giới hạn đặc biệt:

lim n n   lim ( ) k

n n k 

  ¢

lim ( 1) n

n q q   

2. Định lí:

a)Nếu lim n u  thì 1 lim 0 nu 

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n

n

u

v = 0

c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0

thì lim n

n

u

v = . 0 . 0 n

n

neáu a v neáu a v      d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim(un.vn) = 

0 0 neáu a neáu a    

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0 ,

 ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:  Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.VD:  Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).

Baøi 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)

1) lim(n2  n + 1). ĐS: + 2) lim(n2 + n + 1). ĐS: - 3) lim 8 n 3 n 2

2   ĐS: + 4) lim

3 3 n n 2 1   ĐS: - 5) lim(2n + cosn). ĐS: +

6) lim( 2

1 n2  3sin2n + 5). ĐS: +

7) un =

1 2

1 3

n

n



 . ĐS: +

8) un = 2n  3n. ĐS: - 

9) ĐS: 0

10) ĐS: 0

11)lim ĐS: 0

12) ĐS: 2/3

13) ĐS: 3

14) ĐS: 1

15)lim– n2 + n – 1

2n2 – 1

ĐS: -1/2

      3 3 2 2 3 3 3 ; a b a b a b a b a ab b a b         

3 2 2 1 lim

4 3

n

n n



 

2

4

1 lim

2 1

n

n n



  2

4

1 2 1 n n n    2

2 2 3 lim

3 2 1

n n

n n

 

  3 2

3 3 2 lim

4

n n n

n

 



4

2 lim

( 1)(2 )( 1)

n

n n n   

DeThi.edu.vn

16)lim 4n – 1

n + 1

ĐS: 2

17)lim ĐS: 2

18) ĐS: +

19) ĐS: -

20) ĐS: -

Baøi 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)

1) ĐS: 1

2) ĐS: 7

3) ĐS: 0

4) ĐS: 5

5) ĐS: -1/2

6) ĐS: 1/3

Baøi 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;)

Chú ý: k n có mũ ; 2 k 3 k n có mũ 3

k

1) ĐS: 2

2) ĐS: 0

3) ĐS: 0

4) ĐS: 2

5) ĐS: 2

6) ĐS: -1/( 3 1 )

Baøi 4: Tính các giới hạn sau:

Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau). + Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung.

1) ĐS: +

2) ĐS: 2012

3) ĐS: -1/2

4) ĐS: 5

5) ĐS: 5

6) ĐS: 0

7) ĐS: 1/2

8) ĐS: -1

9) ĐS: 1

10) ĐS: -1/( 3 1 )

11) ĐS: -

12) ĐS: -1/2

13) ĐS: 0

Baøi 5: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)

1) ĐS: 1/2

1 n 2 n

3 n 2

3 3  



4 2

3 2 2 3 lim

3 2 1

n n

n n

 

 

 



3 2

2 3 2 lim

4

n n n

n    

2 4 2 5 lim 3 1 n n n

1 3 lim

4 3

n

n 



1 4.3 7 lim

2.5 7

n n

n n

 

 1 2 4 6 lim

5 8

n n

n n

  



1 2 5 lim

1 5

n n

n

 

 1 2.3 7 lim

5 2.7

n n

n n  



1 1 2.3 6 lim

2 (3 5)

n n

n n  



2

2 4 1 2 1 lim

4 …