Chuyên đề Toán học lớp 11 - Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất (Có đáp án)

TỔ HỢP, KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN VÀ XÁC SUẤT

CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I. LÝ THUYẾT 1. Hoán vị. * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tậphợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. * Số hoán vị. Số hoán vị của n phần tử, được ký hiệu là Pn

Pn = n!

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học sinh.

Giải Số cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 phần tử Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp.

2. Chỉnh hợp. * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. * Số chỉnh hợp. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 (1  k  n)

+ Chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử.

EMBED Equation.DSMT4

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.

Giải Có EMBED Equation.DSMT4 = 5.6.7 = 210 số có 3 chữ sốkhác nhau

3. Tổ hợp. * Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho * Số các tổ hợp. Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4

Ví dụ 3: Hãy tính tổ hợp EMBED Equation.DSMT4

Giải

Ta có: EMBED Equation.DSMT4

k n A

k n A  ! k n

n! 

n n n P A 

3 7 A

k n C

k n C  ! k n k!

n!



3 6 C

20 1.2.3 4.5.6 3!3!

6! C3

6   

DeThi.edu.vn

Ví dụ 4: Một cỗ bài túlơkhơ có 52 quân bài, chia cỗ bài trên thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần 13 quân). Hỏi có bao nhiêu cách chia được 1 phần sao cho:

a. có 2 con át. b. có ít nhất một con át.

Giải a. Số cách chọn 2 con át từ 4 con át là: EMBED Equation.DSMT4

Số cách chọn 11 con bài còn lại trong 48 con bài là: EMBED Equation.DSMT4

Theo quy tắc nhân ta có: EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4 cách chia.

b. Số cách chia được phần có 13 con bài là EMBED Equation.DSMT4

Số cách chia được 1 phần mà không có con át nào cả là: EMBED Equation.DSMT4

Vậy số cách chia được 1 phần có ít nhất 1 con át là EMBED Equation.DSMT4 - EMBED

Equation.DSMT4

* Tính chất của tổ hợp: + Tính chất 1: EMBED Equation.DSMT4 + Tính chất 2: EMBED Equation.DSMT4

Ví dụ 3: Chứng minh rằng EMBED Equation.DSMT4 ; n, r  Z

II. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG: * Bài toán đếm có điều kiện: Bài 1. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

Giải. Gọi 3 tỉnh có tên là A, B, C Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có EMBED Equation.DSMT4

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có EMBED Equation.DSMT4

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có EMBED Equation.DSMT4 Theo quy tắc nhân ta có: EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 = 207900

Bài 2. Đội thanh niên xung kích của nhà trường có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này không quá 2 lớp.

Giải Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là EMBED Equation.DSMT4 Nếu chọn 4 học sinh từ 3 lớp thì: Số cách chọn 2 học sinh từ lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C là: EMBED Equation.DSMT4

Số cách chọn 1 học sinh từ lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C là: EMBED Equation.DSMT4

Số cách chọn 1 học sinh từ lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C là: EMBED Equation.DSMT4

2 4 C

11

48 C

2 4 C 11

48 C

13

52 C

13

48 C

13

52 C

13

48 C

k n n k n C C  

k n k

1 n 1 k

1 n C C C     

n r 2 , C C 2C C r

2 n 2 r n 1 r n r n        

1

3 4 12.C C

1

2 4 8.C C

1 1 4 4.C C

1

3 4 12.C C 1

2 4 8.C C

1 1 4 4.C C

4 12 C

1

3 1

4 2 5 .C .C C

1

3 2 4 1

5 .C .C C

2 3 1

4 1

5 .C .C C

DeThi.edu.vn