Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Phương trình

I. PHƯƠNG TRÌNH

1. Không có tham số

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Câu 1. Giải phương trình

Lời giải

+Biến đổi phương trình tương đương :

Câu 2. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:

Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.

Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vì nên và Suy ra vì vậy

Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc

Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :

Lời giải

3 5 3 5 4 2 5 2 4 5 2 2 3 2 2 3 x x x x x x x x         

2 3 2 0 x x    1

2

x

x

   

2 4 1 2 2 3 1 2       ( )( ). x x x x

1 . x

1  x

1 . x

   

3 2 4 1 2 2 2 3 3 2 12          x x x x x

 

2

2

4 3 4 3 3 2 4 1 2 2 3 3

4 4 3 1 3 0 1 1 2 2 3 3

           

                

( ) ( ) ( )( )

( ) . ( )

x x x x x x x

x x x x

1  x 1 0   x 2 3 1  . x 4 4 3 1 2 2 3 3      

, x x

2 4 4 1 3 0 1 2 2 3 3         

( ) . x x x

1 3 0 3      ( ) . x x

1  x 3 . x

3 3 3 1 1 5 x x x  

  3 2 3 3 3 3 3 1 1 5 2 3 1 1 1 5

5 3 2 3 3 1 5 4 5 0 0

2

5

2

          

        



x x x x x x x x

x x x x x x ;x .

Thử lại ta thấy phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x = .

DeThi.edu.vn

Câu 4. Giải phương trình: ,với .

Hướng dẫn giải.

Câu 5. Giải phương trình . Hướng dẫn giải.

Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3

Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình .

Hướng dẫn giải Ta có:

Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

; ; ;

Giải ba hệ phương trình trên ta được: .

Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Đặt ta được

   2 2 6 1 2 1 2 3 1 x x x x x      x R 

   2 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 0 x x x x x x         

   2 2 2 3 2 1 2 3 2 0 x x x x x         

2

2

2 3 2 1

2 3 2

x x x

x x

      

    

2

2

1 3 15 2 3 2 1 2 3 3 6 2 0

x x x x x x x

              

2 3 2 1 2 3 x x x x     

2 2 3 3 2 1 2 3 (2 3)(x 1) 3 2 1 x x x x x x x x             

2 2 3 2 2 10 4 0 x y xy x y      

    

2 2

2 2 2 3 2 2 10 4 0

2 1 1 4 8 4 7

x y xy x y

x x y y y y

     

        

    2 2 1 2 2 7 x y y      

   3 1 3 7 y x y x      

3 1 7

3 1

y y

y x

       

3 1 7

3 1

y y

y x

       

3 1 1

3 7

y y

y x

      

3 1 1

3 7

y y

y x

                ; 3;1 , 1; 3 , 7; 3 x y    

2 2 1 5 6 1 5

x x x x

    

1 5 t x x      

2

2 2 4 1 2 2 2 0 2 t t t t t

      

DeThi.edu.vn

Giải ta được suy ra

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải phương trình trên tập số thực: (1). Hướng dẫn giải Điều kiện: .

không là nghiệm của phương trình.

.

Đặt .

Phương trình trở thành: .

Khi đó ta có: . Vậy .

Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) .

Đặt . Ta có phương trình:

(*).

.

Phương trình (*)

.

Vậy .

Bài 3. Giải phương trình sau trên tập số thực: .

Hướng dẫn giải

t 3 t x 2     

2 x 2 0

x 4x 3 0

       

2 t  1, 5 x x  

2 x + x +9 = 2 4 x +1 x

x 1 

      2 2 9 2 4 1 2 5 1 2 2 1 x x x x x x x x            

1 x  g

2 2 2 1: (1) 5 2 1 1 1 x x x pt x x

               g

2 t = 1 x

x





2t +5 = 2t +1 2 t = 3 

2 x +1 = 3x 6  20+4 7 x = 9  20 4 7 9 S           

  2 2 2 3 7 5 2 1 x x x x     

  2 2 2 1 5 2 1 3 6 0 x x x x      

2 2 1 t x  

  2 5 3 6 0 t x t x     

      2 2 5 4 3 6 1 x x x          

2 3 2 1 3 2 t x x      2 2 2 1 2 t x x x     

2

2 7 2 7

x

x x

        

  2;2 7 S  

    2 2 2 2 5 2 2 1 3 0 x x x x x x x         

DeThi.edu.vn