Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học 11 - Phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC

PHẦN 1

Bài 1. Giải phương trình:

 

2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 2 0 2sin 1

x x x x

x

  

  Hướng dẫn giải

Điều kiện: 1 6 sin , , 5 2

6

x k x k l x l

 

 

         

¢ (*).

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

 

2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 0 2 x x x x    

  2 3sin 2 3sin .cos 2cos 1 cos 3 0 x x x x x      

   2 2 2 3sin cos 3sin 2 3sin .cos cos 0 x x x x x x      

  

3sin cos 0 3sin cos 3sin cos 2 0

3sin cos 2

x x x x x x

x x

        

  

TH1: 3sin cos 0 cot 3 , 6 x x x x k k          ¢

TH2: 3sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1 6 6 6 x x x x x                       

2 2 2 , 6 2 3 x k x k k             ¢

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm

7 2 2 , 2 , 6 3 x k x k k         ¢ .

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình : cos sin cos2 1 sin 2 0 x x x x    

Bài 3. Chứng minh rằng: 2 1 sin 2 cot . 1 sin 2 4 a a a

          

Bài 4. Cho:   sin sin 2sin x y x y    , với , k x y k    ¢  . Chứng minh rằng: 1 tan tan 2 2 3 x y   .

Bài 5. Giải phương trình : 3 1 cot 3tan 2 2 2 2 0 2 1 cot

x x cos x cos x x      

Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: 3 3 sin . sin . . 2 2 2 2 A B B A cos cos  Chứng minh

rằng tam giác ABC cân.

DeThi.edu.vn

Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 . x x cos x x   

Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 2 3sin 2sin . os2 3 x x cosx c x a    

Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c .

1. Chứng minh rằng: 3 3. a b b c c a l l l l l l c a b      

2. Nhận dạng tam giác, biết: tan ( tan a+btanb). 2 C a b a  

Bài 10. Định a để hệ:

2

2 2

cos

sin 1

ax a y x

x y

       

có nghiệm duy nhất.

Bài 11. Chứng minh rằng nếu 2 2 x x  thì:

2

2 2cos sin 2 16 sin . os2 x x x c x  

Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những giá

trị tìm được của m:

4 2

3 sinx. os2 2 2. cos . os2 1

c y m m

x c y m

        Bài 13. Cho hai phương trình sau: 7 3 2sin (1 sin ).sin .sin x a x a x     (1)

2 6 2 3 ( 1)(1 ) 2sin 2sin 2( 1) a cos x x x a       (2)

a. Giải các phương trình trên với 2 a  .

b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.

Bài 14. Giải hệ phương trình:

3 3 sin 2 . 3 cos 2

x y z

x y z

         

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị   0;2 x   sao cho: 2cos 1 sin 2 1 sin 2 2. x x x     

Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:

2 3 ( ) 2 ( ) . 2 0. 2 2 3 x x cos a x cos a x cos cos a a                  

Bài 17. Cho tam giác ABC có tan tan 2tan A C B   . Chứng minh rằng: 3 2 cos cos . 4 A C  

Bài 18. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: . BC AB BC AB BC AC

   Tính tổng số đo góc:

3 . A B 

Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc:   , , 2 Max A B C   . Tìm giá trị lớn của biểu thức:

2 3 sin sin sin . P A B C   

DeThi.edu.vn