Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học 11 - Hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài 1. Xét các hình chóp – giác ( là số tự nhiên tùy ý lớn hơn ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a/ Đáy có tất cả các cạnh đều bằng .

b/

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao của hình chóp nêu trên.

Hướng dẫn giải Chứng minh nếu hình chóp tồn tại thì khi đó hình chóp là đều: Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau Đặt : ; ; ..... ; .

Dùng định lý cosin trong các tam giác ; ; ...; ta có:

.......................................................

.

Đặt , ta có hệ: với

Trên đồng biến.

Do đó: thì vô lý.

Thật vậy: nếu . Ta có ( vô lý)

Tương tự nếu cũng suy ra điều vô lý: . Vậy .

Do ta được . Từ đó ta được: .

n 1 2 . ... n S A A A n 2

1 2... n A A A 1

· · · 0 1 2 2 3 n 1 SA A SA A ... SA A 60    

SH

1 2 . ... n S A A A

1 1 SA x = 2 2 SA x = n n SA x =

1 2 SA A 2 3 SA A 1 n SA A

2 2 0 2 2 1 1 1 1 1 2 cos60 1 x x x x x = + - = + -

2 2 0 2 3 2 2 2 2 1 2 os60 1 x x x c x x = + - = + -

2 2 0 2 1 1 1 1 1 2 os60 1 n n n n n x x x c x x - - - - = + - = + -

2 2 0 2 1 1 2 os60 1 n n n n x x x c x x = + - = + -

2 2 1 3 ( ) 1 ( ) 2 4 f x x x x = - + = - +

2 2 1

2 3 2

2

1

2 1

( )

( )

...............

( )

( )

n n

n

x f x

x f x

x f x

x f x

-

ìï = ïïï = ïïïïíïïï = ïïïï = ïî

1 2

3 ; , 2 , ..., n x x x

é ö÷ ê ÷ Î + ¥ ÷ ê ÷ø êë

3 ; 2

      

 f x

1 2 x x 

   1 2 1 2 x x f x f x    

2 2 2 3 2 3 n 1 x x x x ... x x       1 1 x x 

1 2 x x  1 1 x x  1 2 x x 

1 2 x x 

2 2 1 1 1 1 x x x 1 x 1     1 2 ... 1 n x x x    

DeThi.edu.vn

Chứng minh đáy là đa giác đều. Từ suy ra hình vuông góc của lên

đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều. a) Tìm lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh .Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh . Ngoài ra: ; ; ...; .

Do đó: .

• Tính và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của :

Xét tam giác vuông : .

.

; ; .

• Do đó giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là .

Bài 2. Cho hình lập phương cạnh .Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . là tâm của hình vuông . là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng và sao cho vuông góc với và cắt .Tính độ dài đoạn theo . Hướng dẫn giải

Xác định đoạn

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .

Do (gt) và K suy ra , suy ra tại .

1 2... n A A A 1 2 ... 1 n SA SA SA     H S

1 2... n A A A

SH

6 n  1

0

1 2 1 2 60 A SA A HA   0

2 3 2 3 60 A SA A HA   0

1 1 60 n n A SA A HA  

  0 0 .60 360 6 2 n n n    

SH SH

1 SHA 2 SH 

2 2 1 1 1 1

1 SA HA .SA 1;HA

2sin n

   

2 2 2 2

2 1 1 1 1 SH 1 1 1 cot g 3 cot g , SH= 3 cot g 4 4 4 4 2 4 4sin n

                     

3;4;5 n 

3: n SH   2 3 4: n SH   2 2 5: n SH   1 1 2 2 5 

SH 2 3 SH 1 1 2 2 5 

. ' ' ' ' ABCD A B C D a , , E G K ' ', ' ' A D B C AA' H ' DCDC , M N AD EG MN KH KH MN a

MN

1 1 1 1 , , , E N G H , , , E N G H   ABCD

KH MN  1 KH NN  1 KH MN  1 1 AH MN  1I

C

C’

A B

D E1

A’ B’

D’ E

G

H

H1

N1 I1

I

M

G1

A B

C D

G1 E1

M

H1

I1

N1

DeThi.edu.vn