Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 11 - Bài 1 Giới hạn của dãy số

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.

Bài 1. Cho dãy số   na xác định bởi :

1

3 2

1 2

1

2 2 2 3 4 1

n n n

n n

a a a a a a a a 

           

. Chứng minh rằng với mọi số thực 0 a 

thì dãy   na hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy   na .

Hướng dẫn giải

Nếu 0 a  thì 1 2 a a   (do bất đẳng thức AM-GM).

Nếu 0 a  thì 1 2 a a    (do bất đẳng thức AM-GM) nên 1 2 a a  .

Nếu 1 a  thì 1 2 a  . Ta chứng minh: * 2, na n  ¥ .

Hiển nhiên 1 2 a  .

Giả sử

3 2

1 2 2.2 2.2 2 2 2 3.2 4.2 1 k k a a 

        .

Vậy lim lim2 2 na   .

. Nếu 0

1

a

a

   

thì 1 2 a  . Ta chứng minh * 2 na n  ¥ .

Rõ ràng 1 2 a  . .

Giả sử 2 ka  . Ta chứng minh 1 2 ka  .

 

3 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 4 1

k k k k k k k

a a a a a a a 

          ( đúng).

Ta chứng minh   na là dãy giảm, thật vậy :.

   2 3 2

1 2 2

1 2 2 2 , 0 3 4 1 3 4 1

n n n n n n n

n n n n

a a a a a n a a a a a a 

                .

( do tử âm, mẫu dương vì.

2

2 7 3 3 4 1 0

2 7 3

n

n n

n

a a a

a

       

   

.

Mà 2 2 7 2 3 4 1 0 3 n n n a a a       ).

DeThi.edu.vn

  na giảm và bị chặn dưới    na có giới hạn là L .

 

3 2 3 2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 3 4 1 3 4 1

2 2 1

n n n

n n

n

a a L L a a a L L

L a L



         

    

.

Vậy lim 2 na  .

. Nếu 0 a  thì 1 2 a . Tương tự, ta có:.

   2 3 2

1 2 2

1 2 2 2 , 0 3 4 1 3 4 1

n n n n n n n

n n n n

a a a a a n a a a a a a 

                .

nên   na tăng. Hơn nữa   na bị chặn trên bởi 1 , thật vậy.

 

3 2

2 1 2 2 2 2 1 1 1 (2 3) 0 3 4 1

k k k k k k

a a a a a a a 

         .

Vậy   na tăng và bị chặn trên    na có giới hạn là L .

 

1

3 2

2

1, , 0,

2 2 2 1 1 2 3 4 1

n n n

n

a n a a n

L L L L a L L L

     

        

.

Vậy lim 1 na .

Tóm lại: + Nếu 1 a  thì lim 2 na  .

+ Nếu 0

1

a

a

   

thì lim 2 na  .

+ Nếu 0 a  thì lim 1 na .

Bài 2. Cho dãy số  nx được xác định bởi  

1

* 1 2 3 2015

0

1 2 3 2015

n n

n n n n

x

x x n x x x x 

          

L ¥ . Tìm giới hạn

của dãy n nx khi n , với là số thực cho trước.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh được 0, 1 nx n   bằng qui nạp.

Ta có.

2

2 2 2 1 1 2 1 1 1 , 1 2 2 ; 1 n n n n n n n n n x x n x x x x n x x x  

                

.

Bởi vậy , 2 n n   N thì   2 2 2 2 1 2 1 2 4 2 1 n n n x x x x n          .

1, 2 lim n n n x n và x     .

DeThi.edu.vn

Với * nN , đặt 1

1

n n n n x x t x    trong đó 2 3 2015 2 3 2015

n

n n n t x x x    .

2 1; 2 0 n n

n

t x n t x      , với 2 3 2014 2015 t    (1), suy ra.

2

2 2 2 2 1 2

2 1 1 2 2 2 n n n n n n n n n n n n

t x x x t x t x t x x x 

                

. khi n .

Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy   nb với

2 1 1 2 2

1, 2. n n n

b x

b x x n 

      

.

ta có lim n n b   2 suy ra 1 2 lim n

n

b b b n 

  lim 2. n n b    .

Mà      2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 n n n n n n x x x x x x x x b b b n n n

             suy ra 2

1 lim . 2 n n

n x   .

Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp 2

1 lim 2 n n

n x   như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro).

Xét dãy  

2 2 2 1 1 1 : 2; 2 n n n n c c x c x x       với 2,3 n  .

lim 0 n n c   nên 0   tồn tại * mN sao cho , . 2 nc n m     .

Gọi   i M max c  với 1 1 i m  .

Với  ở trên tồn tại   2 1 1 m M m          

thì   2 1 ' m M m    hay   1

2 m M m

    .

Xét   , ' n max m m  . ta có.

      1

1 1 1 | | | | 1 1 2 . 2 2 2

n n m

i i i i i m i n m c c c m M m M n n n n n m



   



                    o đó theo định

nghĩa 1 | | lim 0

n

i i

n

c

n



 …