Chuyên đề Toán học 11 - Bài 2 Dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán (Có đáp án)

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1. Cho dãy số   n u xác định bởi :

1

1

11

10 1 9 , n n

u

u u n n N 

      

. Xác định số hạng tổng quát của dãy

đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có:.

1

2

3

11 10 1

10.11 1 9 102 100 2

10.102 1 9.2 1003 1000 3

u

u

u

  

    

    

.

Dự đoán:  10 1 n nu n   .

Chứng minh theo quy nạp ta có.

1 1 11 10 1 u   , công thức  1 đúng với 1 n . Giả sử công thức  1 đúng với n k  ta có 10k ku k   .

Ta có:     1 1 10 10 1 9 10 1 k k ku k k k        .

Công thức  1 đúng với 1 n k  .

Vậy 10n n u n   , . n N  .

Bài 2. Cho dãy số( ) n u biết

1

1

2

3 1, 2 n n

u

u u n 

      

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải

1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3( )(1) 2 2 2 2 n n n n n n u u u u u u             .

Đặt 1 1 1 1 5 2 2 2 n n v u v u        .

1 (1) 3 , 2 n n v v n     .

Dãy ( ) là nv cấp số nhân với công bội là 3 q  .

Nên 1 1 1

5 . .3 2

n n nv v q      .

Do đó 1 1 5 1 3 , 1,2,... 2 2 2

n n n u v n        .

Bài 3. Cho dãy số   n u xác định bởi * 1 1 2 3 4 1;u , 2 3 2 n n

n u u n n n 

            

N .Tìm công thức số hạng

tổng quát nu của dãy số theo n .

HƯỚNG DẪN GIẢI

DeThi.edu.vn

Với mọi * n¥ , ta có.

1 1 4 2 3 2 3( ) 2 3( ) ( 1)( 2) 2 1 n n n n n u u u u n n n n              .

1 1 3 3 3 3 3 2( ) 3( ) ( ). 2 1 2 2 1 n n n n u u u u n n n n               .

Dãy số 3 ( ), 1 n n n v v u n    là cấp số nhân có công bội 3 2 q 

và 1

1 2 v  .

1 1 * * 3 1 3 1 3 . , , 2 2 1 2 2

n n

n n v n u n n

                            ¥ ¥ .

Bài 4. Cho hàm số : f Z Z    thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.

(1)    1 f n f n   , . n Z   .

(2)  2000 f f n n       , . n Z   .

a/Chứng minh:    1 f n f n   , . n Z   .

b/Tìm biểu thức  f n .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a.

Vì  f n Z   nên từ giả thiết (1) ta được:    1 1 f n f n   , . n Z   .

Kết hợp giả thiết (2) ta được . n Z   .

     2001 1 2000 1 1 2001 n n f f n f f n n                  do đó:    1 1 f n f n   , . n Z   .

Câu b.

       1 –1, 1 1 1 –1 f n f n n Z f f f f        ,.

Suyra:    1 2000 2 1 –1 1 1001 1000, f f f n n n Z          .

Thử lại thỏa các điều kiện, nên  1000, . f n n n Z     .

Bài 5.

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.

b)Cho dãy số   n u có  

1

1

16

15 . 1 14 , 1 1

n n

u

n u u n n 

        

. Tìm số hạng tổng quát nu .

Hướng dẫn giải

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.

DeThi.edu.vn

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là , , a d a a d   .

Theo giả thiết ta có hệ:

    2 2 2

9

125

a d a a d

a d a a d

           

.

2 2 3 9

3a 2d 125

3

7

a

a

d

     

    

.

Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.

b)Cho dãy số   n u có  

1

1

16

15 . 1 14 , 1 1

n n

u

n u u n n 

        

. Tìm số hạng tổng quát nu .

Ta có:        1 1 15 . 1 14 14 1 15 . 1 1

n n n n n u u u n n u n            .

  1 1 15 14 1 n n n u nu n       (1).

Đặt   1 16 n n v nu v    .

(1) trở thành:     1 1 15 14 1 1 15 n n n n v v n v n v n          (2).

Đặt   1 w w 15 n nv n     .

(2) trở thành:   1 15 w n n n w w   là csn có 1 w 15, 15 w 15n n q     .

Từ đó ta có: 15n

n

n u n

  .

Bài 6. Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 2 2 1 1; 4; 7 2, * n n n u u u u u n        ¥ .

Chứng minh : nu là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Hướng dẫn giải

Ta có 1 2 3 1; 4; …