Đề cương ôn thi Đại số và Giải tích Lớp 12 - Chủ đề 5 Đạo hàm

CHỦ ĐỀ 5. ĐẠO HÀM

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số xác định trên và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm .

Kí hiệu: hoặc . Vậy .

STUDY TIP

Nếu và thì .

 gọi là số gia của đối số tại điểm .  gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải.

a) Đạo hàm bên trái.

trong đó được hiểu là và .

b) Đạo hàm bên phải.

trong đó được hiểu là và .

Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại điểm và tồn tại và bằng nhau. Khi đó

.

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

a) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng

đó.

b) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu có đạo hàm trên khoảng và có

đạo hàm phải tại và đạo hàm trái tại .

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.

- Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm đó.

STUDY TIP

 Hàm số liên tục tại điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

 Hàm số không liên tục tại thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

 y f x    ;a b   0 ; x a b 

  

0

0

0 lim x x

f x f x x x 

   y f x  0x

  0 f x    0 y x      

0

0 0

0 lim x x

f x f x f x x x 

   

0 x x x          0 0 0 y f x f x f x x f x        0 0 lim

x

y f x x 

   

x  0x y 

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x   

        

0 x x  0 x x  0 x x 

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x   

        

0 x x  0 x x  0 x x 

 f x 0x   0 f x     0 f x 

      0 0 0 f x f x f x       

 y f x    ;a b

 y f x    ;a b   ;a b

a b

 y f x  0x

0x

0x

DeThi.edu.vn

Phương pháp:

1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa.

Cách 1:

- Tính (1).

- Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại và ngược lại thì hàm số không có đạo

hàm tại . Cách 2: Tính theo số gia.

- Cho một số gia : .

- Lập tỉ số .

- Tính giới hạn .

2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.

- Hàm số liên tục tại điểm .

- Hàm số có đạo hàm tại điểm liên tục tại điểm .

- Hàm số liên tục tại điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm .

Ví dụ 1. Cho hàm số . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1: Xét

.

Cách 2:

.

.

.

STUDY TIP

Nhân lượng liên hợp: và .

Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.

 y f x  0x

  

0

0

0 lim x x

f x f x x x 

 

0x

0x

0x x      0 0 0 x x x y f x x f x     

y x  

0 lim

x

y x 

 

 y f x  0x   

0

0 0 lim lim 0 x x x f x f x      

 y f x  0x   y f x  0x

 y f x  0x 0x

 1 f x x   0 1 x 

2 4

2 2 2 2 2 3

 

1 1 1 1 2 lim lim 1 1 x x f x f x x x       

   1

1 lim

1 1 2 x

x

x x 

 

  1

1 1 lim

1 2 2 2 x x    

2 4 

   1 1 2 2 y f x f x      

2 2 y x x x      

  0 0 0 0 2 2 1 2 lim lim lim lim 4 2 2 2 2 x x x x y x x x x x x x                 

a b a b

a b   



2 a b a b

a b   



DeThi.edu.vn