Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số bài tập mẫu - Phạm Thị Cảnh

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 1 -

1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I:

a. Là hệ có dạng : , trong đó

b. Phương pháp giải chung:

- Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

- Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện .

- Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là

nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0.

c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS

x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P

x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2

d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:

- Phương pháp thế.

- Phương pháp hàm số.

- Phương pháp điều kiện cần và đủ.

- Phương pháp đánh giá.

e. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (1)

GIẢI

Đặt điều kiện . Hệ phương trình (1) trở thành:

.

=> x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0

Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2)

* Lưu ý một số trường hợp đặc biệt:

i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ:

f(x, y) = 0 g(x, y) = 0

ìïïíïïî

f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)

ìïïíïïî

2 S 4P ³

2 2

3 3 x y xy 30

x y 35

ìï + = ïíï + = ïî

S x y P xy

ì = + ïïíï = ïî

2 S 4P ³

3

3

30 P SP 30 S

30 S 3PS) 35 S 3. S 35 S

ìïï = ì ï = ï ï ï Û í í ï ï - = ï ï î - = ïïî

S 5

P 6

ì = ïï Û íï = ïî

t 2 t 3

é = ê Û ê = êë

DeThi.edu.vn

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 2 -

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (2)

GIẢI

Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng.

Đặt t= - y ta được hệ đối xứng:

Đặt , điều kiện ta được:

.

Với ta có:

=> x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1

Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1.

Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1)

ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt

thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (3)

GIẢI

Đặt thì (3) trở thành (3’)

Đặt , hệ (3’) trở thành

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0

=> (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình (4)

2 2 x xy y 1 x y xy 3

ìï + + = ïíï - - = ïî

2 2 x tx t 1 x t tx 3

ìï - + = ïíï + + = ïî

S x t

P xt

ì = + ïïíï = ïî

2 S 4P ³ 2 S 3P 1 S 3S 10 0 S P 3

ì - = ïï Û + - = íï + = ïî

2 S 5(loai vì không thoa mãn S 4P) S 5 P 8

S 2 S 2

P 1

éì = - ïïê ³ íê ì ï = - = ï ï ï êî Û Û í êì ï = = ïê ï ï î íêï = êïëî

S 2 P 1

ì = ïïíï = ïî

x t 2

x.t 1

ì + = ïïíï = ïî

S u v P uv

ì = + ïïíï = ïî

S x y P xy

ì = + ïïíï = ïî

3 3 xy x y 5

(x 1) (y 1) 35

ì + + = ïïíï + + + = ïî

u x 1

v y 1

ì = + ïïíï = + ïî

3 3 uv 6

u v 35

ì = ïïíï + = ïî

S u v P uv

ì = + ïïíï = ïî

3 P 6 S 5

P 6 S 3PS 35

ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï = - = ï ïî î

t 2 t 3

ì = ïï Û íï = ïî

2 2 x y x y 8

xy(x 1)(y 1) 12

ìï + + + = ïíï + + = ïî

DeThi.edu.vn

Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu.

Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 3 -

GIẢI

Nhận xét: Nếu đặt ta thu được hệ (-> phức tạp)

Đặt thì (4) trở thành

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0

Vậy Do đó ta có hoặc

Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình (5)

GIẢI

Nhận xét: Nếu đặt như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình

phức tạp.

Điều kiện:

Đặt thì (5) trở thành (5’)

Đặt điều kiện . Hệ phương trình (5’) trở thành:

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0

Vậy

Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1).

S x y P xy

ì = + ïïíï = ïî

2 S S 2P 8

P(P S 1) 12

ìï + - = ïíï + + = ïî

u x(x 1) v y(y 1)

ì = + ïïíï = + ïî

u v 8 uv 12

ì + = ïïíï = ïî

t 6 t 2

é = êê = êë

u 6

v 2

u 2

v 6

éì = ïïêíêï = ïêîêì = ïêïíêï = êïëî

2

2 x x 6 0

y y 2 0

ìï + - = ïíï + - = ïî

2

2 x x 2 0

y y 6 0

ìï + - = ïíï + - = ïî

2 2

2 2

1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y

ìïï + + + = ïïïíïï + + + = ïïïî

S x y P …