Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác và ứng dụng thực tiễn - Ngô Trang

GV: Ngô Trang 1

c

b

a C B

A

I

c b

a C B

A

c

b

a C B

A

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN A – LÝ THUYẾT 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

2 2 2 a b c   (Pythagoras). 2 . b a b  , 2 . c a c 

2 . h b c   . . a h bc  2 2 2 1 1 1 h b c  

2. Định lý cosin Cho tam giác ABC có , BC a AC b   và AB c .

Ta có

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 .cos ;

2 .cos ;

2 .cos .

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

  

  

  

Hệ quả

2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ; cos ; cos . 2 2 2 b c a c a b a b c A B C bc ca ab         

Nhận xét: Cho tam giác ABC . Giả sử c là cạnh lớn nhất:

 Nếu 2 2 2 c a b   thì ABC là tam giác tù tại C.  Nếu 2 2 2 c a b   thì ABC là tam giác nhọn tại C.  Nếu 2 2 2 c a b   thì ABC là tam giác vuông tại C. 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có , BC a AC b   , AB c  và R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp. Ta có

2 sin sin sin a b c R A B C   

3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có , , a b c m m m lần lượt là các trung tuyến kẻ từ , , A B C .

Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

; 2 4

; 2 4

. 2 4

a

b

c

b c a m

a c b m

a b c m

  

  

  

DeThi.edu.vn

GV: Ngô Trang 2

4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , , a b c h h h là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh , , BC CA AB ;

● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

● 2 a b c p    là nửa chu vi tam giác;

● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:

1 1 1 2 2 2 a b c S ah bh ch   

   

1 1 1 sin sin sin 2 2 2

4

.

bc A ca B ab C

abc

R pr

p p a p b p c

  





   

6. Một vài công thức nhanh Cho tam giác đều cạnh a . Ta có:

+) Độ dài đường cao 3 2 a h 

+) Bán kính đường tròn ngoại tiếp

3 a R 

+) Diện tích tam giác đều cạnh a là

2 3

4 a S  .

B. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC, CHIỀU CAO,

DIỆN TÍCH…

Ví dụ 1: ( c.g.c ) Cho tam giác ABC có , 2 AB a AC a   và 0 120 BAC  . Tính độ dài cạnh BC và diện

tích S của tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải

+) Ta có: 2 2 2 2 2 . .cos 7 BC AB AC AB AC A a     . Suy ra 7 BC a  .

+) Diện tích tam giác ABC là:

2 1 3 . .sin 2 2 a S AB AC A   .

+) Bán kính đường tròn ngoại tiếp

2 sin

BC R A  0 7 2 21 sin120 3 a a  

Ví dụ 2: ( c.c.c ) Cho tam giác ABC với ba cạnh 13, 14, 15 a b c    . Tính đường cao ch và bán kính

đường tròn ngoại tiếp .

Lời giải

DeThi.edu.vn

GV: Ngô Trang 3

Diện tích: ( 13)( 14)( 15) 84 S p p p p      .

Đường cao cần tìm: 2. 56 15 5 c

S h   .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp . 13.14.15 65 84 4 4 8 abc S R R R     

Ví dụ 3: ( 2 góc, 1 cạnh ) Cho tam giác ABC có 60 , 45 , 2 2 B C AB c       . Giải tam giác

Lời giải

+) 0 0 180 75 A B C     .

+) Áp dụng định lí sin ta có: sinC sin AB AC

B 

0

0 sin 2 2 sin60 2 3 sin sin 45 AB B AC C     .

Cách 1 ( Nếu cho trước biết 0 sin 75 hoặc được sử dụng máy tính )

+) Áp dụng định lí sin ta có: sinC sin AB BC

A 

0

0 sin 2 sin75 6 2 sin sin 45 AB A BC C      .

Cách 2 ( Nếu không cho trước 0 sin 75 )

2 2 2 2 .cos b c a ca B   

2 0 12 8 4 2 .cos60 a a   

2 2 2 4 0 a a     2 6

2 6

a

a

  

  

. Vì 0 a  nên 2 6 a   .

Ví dụ 4: ( 2 cạnh và 1 góc đối diện ) Cho tam giác ABC có 2 2, 2 3 AB c AC b     và 45 C  .

Giải tam giác.

Lời giải Cách 1 ( Nếu cho trước biết 0 sin 75 hoặc được sử dụng máy tính )

+) Áp dụng định lí sin ta có: sinC sin c b

B  0 2 2 2 3 sin 45 sin B  

0 2 3sin45 3 sin 2 2 2 B   

0

0 60

120

B

B

  

  

Trường hợp 1: Nếu 0 60 B  thì 0 75 A  . Khi đó tính cạnh a như ví dụ trên.

Trường hợp 2: Nếu 0 120 B  thì 0 15 A  .

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có 3 AB , 5 BC  và độ dài đường trung tuyến 13 BM  . Tính độ dài AC , chu vi và diện tích ABC  .

Lời giải

13

5

3 M

C B

A

DeThi.edu.vn