Tài liệu Chuyên đề Toán THPT - Chủ đề 4 Bất đẳng thức - Bất phương trình

2

4

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

BAØI

1. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng hoặc được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức và cũng viết là Nếu bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là 3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chứng minh Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Tính chất Điều kiện Nội dung Tên gọi

Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

và Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

và Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

và

Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng hoặc Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng hoặc là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

'' '' a b < '' '' a b >

'' '' a b c d < Þ < c d < a b < . a b c d < Þ <

a b < c d < . a b c d < Û <

a b < 0. a b - <

a b a c b c < Û + < +

0 c > a b ac bc < Û <

0 c < a b ac bc < Û >

a b < c d < a c b d Þ + < +

0, 0 a c > > a b < c d < ac bd Þ <

n * Î ¥ 2 1 2 1 n n a b a b + + < Û <

n * Î ¥ 0 a > 2 2 n n a b a b < Û <

0 a > a b a b < Û <

3 3 a b a b < Û <

a b £ . a b ³

a b < a b >

DeThi.edu.vn

3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2. Các hệ quả

Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng

Hệ quả 2 Nếu cùng dương và có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi

Hệ quả 3 Nếu cùng dương và có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi

III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Điều kiện Nội dung

hoặc

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?

A. B.

C. D. Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. B.

C. D.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

( ) , , 0. 1 2 a b ab a b + £ " ³

2 a b ab + = . a b =

2.

1 2, 0. a a a + ³ " >

,x y xy . x y =

,x y x y + . x y =

0, , x x x x x ³ ³ ³ -

x a a x a £ Û - £ £ 0 a >

x a x a ³ Û £ - x a ³

a b a b a b - £ + £ +

. a b a c b d c d

ì < ïï Þ - < - íï < ïî

. a b a c b d c d

ì > ïï Þ - > - íï > ïî

. a b a d b c c d

ì > ïï Þ - > - íï > ïî

0 . 0 a b a c b d c d

ì > > ïï Þ - > - íï > > ïî

. 2

a b b c a a c

ì > ï + ï Þ > íï > ïî

. a b a c b a a c

ì > ïï Þ - > - íï > ïî . a b a c b c > Þ - > - . a b c a c b > Þ - > -

. a b ac bd c d

ì < ïï Þ < íï < ïî

. a b ac bd c d

ì > ïï Þ > íï > ïî 0 . 0

a b ac bd c d

ì < < ïï Þ < íï < < ïî

. a b ac bd c d

ì > ïï Þ - > - íï > ïî

. a b ac bc < Þ < . a b ac bc < Þ >

DeThi.edu.vn