Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chuyên đề 1 Ứng dụng vectơ để giải toán hình học

CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Phương pháp chung

Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán tổng hợp về bài toán vectơ.

Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó.

Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp.

Sau đây là một số dạng toán thường gặp

I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH.

1. Phương pháp giải.

• Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB uuur

và AC

uuur

cùng phương, tức là tồn

tại số thực k sao cho: AB kAC = uuur uuur

. • Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định. 2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi có hai số thực a ,

b có tổng bằng 1 sao cho: OM OA OB a b = + uuur uuur uuur

.

Lời giải

* Nếu A, B, M thẳng hàng AM kAB AO OM k AO OB Þ = Û + = + ( ) uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

OM k OA kOB Þ = - + (1 ) uuur uuur uuur

. Đặt k k a b a b = - = Þ + = 1 ; 1 và

OM OA OB a b = + uuur uuur uuur

.

* Nếu OM OA OB a b = + uuur uuur uuur

với a b b a + = Þ = - 1 1

OM OA OB OM OB OA OB BM BA a a a a Þ = + - Þ - = - Þ = (1 ) ( ) uuur

Suy ra M, A, B thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho 2 3 OA OB + = . Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.

Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là 1 1 2 2 OI OA OB = + uur uuur uuur

(*)

Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho ' ' OI OA OB a b = + uur uuur uuur

với 1 a b + = . Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy

Ta có ( ) * ' ' 2 ' 2 ' OA OB OI OA OB OA OB Û = + uur uuur uuur

. từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho 1 2 ' 2 ' OA OB OA OB + = . Kết

hợp với giả thiết 2 3 OA OB + = ta chọn được điểm A' và B' sao cho 3 3 ' , ' 2 4 OA OB = = .

Lời giải

DeThi.edu.vn

E

I

A

D C

B

Hình 1.35

Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A', B' sao cho 3 3 ' , ' 2 4 OA OB = = .

Do I là trung điểm của AB nên 1 1 ' ' 2 2 2 ' 2 ' OA OB OI OA OB OA OB OA OB = + = + uur uuur uuur uuur uuur

Ta có ( ) 1 2 1 2 ' 2 ' 3 3 3 2. 2. 2 4

OA OB OA OB OA OB OA OB + = + = + =

Do đó điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn

AE AC = 2

3

. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho

DE kDI = uuur uur

, muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ DE DI , uuur uur

qua hai vectơ không cùng phương AB

uuur

và AD

uuur

và sử

dụng nhận xét " ma nb m n + = Û = = 0 0 r r r

với a b , r r

là hai vectơ không cùng phương " từ đó tìm được

2 3 k = .

Lời giải (hình 1.35)

Ta có DI DC CI DC CB AB AD = + = + = - 1 1 2 2

uur uuur

(1)

Mặt khác theo giả thiết ta có AE AC = 2

3

uuur uuur

suy ra

2 3 DE DA AE DA AC = + = + uuur

( ) 2 2 1 3 3 3 AD AB AD AB AD = - + + = - uuur uuur uuur uuur uuur

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 3 DE DI = uuur uur

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD (M B N B ¹ ¹ , ) sao cho

BC BD BM BN + = 2 3 10

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải

Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho ( ) 2 3 0 1 BC BD IM IN BM BN + = uuur uur r

.

Gọi H là điểm thỏa mãn ( ) 2 3 0 2 HC HD + = uuur uuur r

do đó H cố định.

DeThi.edu.vn