Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chuyên đề 2 Một số ứng dụng của tích vô hướng

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Tích vô hướng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán. Sau đây chúng ta tiếp cận những ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học.

I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC.

1. Phương pháp giải.

Sử dụng điều kiện a b ab ^ Û = . 0 r r r r

Chú ý: Ta có AB CD AB CD ^ Û = . 0 uuur uuur

, để chứng minh AB CD = . 0 uuur uuur

thông thường chúng ta phân tích

AB CD , uuur uuur

qua hai vectơ không cùng phương.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau khi và chỉ khi

AB CD BC AD + = + 2 2 2 2

Lời giải

Ta có AB CD BC AD + - - 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) = - + - - - = - + = - = uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uuur uuur uur uuur 2 2 2 2 2 . 2 . 2 2 . CB CA CD BC CD CA CB CA CD CA CA CD CB CA BD

Do đó đường chéo AC và BD vuông góc với nhau khi và chỉ khi

CA BD AB CD BC AD = Û + = + 2 2 2 2 . 0 uur uuur

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N thuộc cạnh AB và AD sao cho AM DN x = = .

a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DM.

b) Giả sử P là điểm được xác định bởi BP yBC = uuur uuur

tìm hệ thức liên hệ của x y , và a để MN vuông góc với MP.

Lời giải (hình 2.11)

a) Ta có x DN AD a = - uuur uuur

, x AM AB a = uuuur uuur

Suy ra x CN CD DN AB AD a = + = - uuur

và x DM DA AM AB AD a = + = - uuuur uuur uuuur uuur uuur

Suy ra x x DM CN AB AD AB AD a a

æ öæ ö ÷ ÷ ç ç = - - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è øè ø . uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

x x x AB AD AB AD AB AD a a a = - + - +

2 2 2

2 . . uuur

A

D C

B M

N

P

Hình 2.11

DeThi.edu.vn

Vì ABCD hình vuông nên AB AD = . 0 uuur uuur

Do đó DM CN ax ax = - + = . 0 uuuur uuur

Vậy CN vuông góc với DM.

b) Ta có a x x MN AN AM AB AD a a - = - = - uuuur uuur uuuur uuur uuur

; a x MP MB BP AB yAD a - = + = + uuur

Suy ra MN MP MN MP ^ Û = . 0 uuuur uuur

a x x a x AB AD AB yAD a a a

æ öæ ö - - ÷ ÷ ç ç Û - + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è øè ø 0 uuur uuur uuur uuur

( ) ( ) a x x AB y AD a x axy a a

- Û - = Û - =

2

2 2 2

2 . . . 0 uuur uuur

Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn BM BC AN AB = = 1 1 , 3 3

uuur uuur uuur uuur

. Gọi I là giao điểm

của AM và CN. Chứng minh rằng BI IC ^ .

Lời giải

Giả sử AI kAM = uur uuuur

. Ta có

( ) CI AI AC kAM AC k AB BM AC k AB BC AC æ ö÷ ç = - = - = + - = + - ÷ ç ÷÷ çè ø 1 3

uur uuur uuuur uuur

Hay

k k CI k AB AC AB AC AB AC æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - = + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø 1 1 2 1 3 3 3 3

uur uuur

Mặt khác CN AN AC AB AC = - = - 1 3

uuur uuur uuur uuur uuur

Vì CI CN , uur uuur

cùng phương nên k k k = - Þ = 3 2 1 3 7

( ) AI AM AB BM AB AC AB AB AC æ ö÷ ç = = + = + - = + ÷ ç ÷÷ çè ø 3 3 3 1 1 2 1 7 7 7 3 3 7 7

uur uuuur uuur

Suy ra BI AI AB AB AC AB AB AC = - = + - = - + 2 1 5 1 7 7 7 7

uur uuur

IC AC AI AC AB AC AB AC æ ö÷ ç = - = - + = - + ÷ ç ÷÷ çè ø 2 1 2 6 7 7 7 7

uur uuur

Do đó BI IC AB AC AB AC æ öæ ö ÷ ÷ ç ç = - + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è øè ø 5 1 2 6 . 7 7 7 7

uur uuur

AB AC AB AC æ ö÷ ç = + - ÷ ç ÷ çè ø

2 2 1 10 6 32 . 49

uuur uuur uuur uuur

DeThi.edu.vn