Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Chứng minh bất đẳng thức

v3

v2

v1

v3

v2

v1

M

C B

A

v2 v3

v1

O

C B

A

1. Bài toán 1 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có :

3 cos cos cos 2 A B C   

+ Cách 1: Dùng tam thức bậc hai. + Cách 2: Dùng vectơ. Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC. Qua điểm M dựng các vectơ : 1 2 3 , , v v v   

có độ dài bằng 1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB. Ta có : 1 2 2 3 3 1 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ; ; v v C v v A v v B            

;

Ta thấy :

2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 ( ) 0 2 2 2 . 0 v v v v v v v v v v v v                  + +

1 2 2 3 3 1

3 3 2[cos( ; ) cos( ; ) cos( ; )] 0 cos cos cos 2 v v v v v v A B C            

+ Cách 3: Dùng vectơ. Chọn các vectơ : 1 2 3 , , v v v   

là vectơ đơn vị của BC , CA , AB. Ta có : 1 2 2 3 3 1 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ; ; v v C v v A v v B            

Ta thấy :

2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 ( ) 0 2 2 2 . 0 v v v v v v v v v v v v                  + +

1 2 2 3 3 1

3 3 2[cos( ; ) cos( ; ) cos( ; )] 0 cos cos cos 2 v v v v v v A B C            

2. Bài toán 2 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có :

   A B C 3 sin sin sin 2 2 2 2 (*)

Bg : 3 (*) cos cos cos 2 2 2 2 B C A C A B       

Đặt : ; ; B C A C A B 2 2 2          khi đó ta có :

3 (*) cos cos cos 2        với    , , là ba góc trong tam giác.

3. Bài toán 3 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có :

3 cos2 cos2 cos2 2 A B C   

Bg : Chọn: 1 2 3 , , v v v   

là vectơ đơn vị của OA , OB , OC.

Ta có : 1 2 2 3 3 1 ( ; ) 2 ( ; ) 2 ( ; ) 2 ; ; v v C v v A v v B      

2 1 2 3

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

( ) 0

2 2 2 . 0

3 2[cos( ; ) cos( ; ) cos( ; )] 0

3 cos2 cos2 cos2 2

v v v

v v v v v v v v v

v v v v v v

A B C

  

      

    

   

  

     

  

DeThi.edu.vn

v3

v2

v1

v3

v2

v1

M

C B

A

v2 v3

v1

O

C B

A

4. Bài toán 4 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có:

2 2 2 .cos .cos .cos , , 2 x y z yz A zx B xy C x y z R       

Bg : Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC.

Qua điểm M dựng các vectơ : 1 2 3 , , v v v   

có độ dài bằng 1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB. 1 2 2 3 3 1 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ; ; v v C v v A v v B            

;

2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1

2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 2 2

( ) 0

2 . 2 . 2 . . 0

2[cos( ; ) cos( ; ) cos( ; )] 0

.cos .cos .cos 2

xv yv zv

x v y v z v xy v v yz v v xz v v

x y z v v v v v v

x y z yz A zx B xy C x

   

      

      

      

  

     

  

, ,y z R 

5. Bài toán 5 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có:

2 cos .(cos cos ) 1 , , 2 x A x B C x y z R      

Bg : Lấy một điểm M nằm trong tam giác ABC.

Qua điểm M dựng các vectơ : 1 2 3 , , v v v 

có độ dài bằng 1 và vuông góc với các cạnh : BC , AC , AB.

1 2 2 3 3 1 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ; ; v v C v v A v v B            

;

2 1 2 3

2 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

2

1 2 2 3 3 1

2

( ) 0

2 . 2. 2 . . 0

2[ .cos( ; ) cos( ; ) .cos( ; )] 0

cos (cos cos ) 1 , , 2

xv v v

x v v v x v v v v x v v

x x v v v v x v v

x A x B C x y z R

   

      

    

      

  

     

  

6. Bài toán 6 : Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta có:

2 2 2 .cos2 .cos2 .cos2 2 x y z yz A zx B xy C     

Bg : Chọn: 1 2 3 , , v v v   

là vectơ đơn vị của : OA , OB , OC. Ta có : 1 2 2 3 3 1 ( ; ) 2 ( ; ) 2 ( ; ) 2 ; ; v v C v v A v v B      

2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1

2 2 2

1 2 2 3 3 1

( . . . ) 0

2 . 2 . 2 . . 0

2[ .cos( ; ) .cos( ; ) .cos( ; )] 0

3 cos2 cos2 cos2 2

x v y v z v

x v x v z v xy v v yz v v zx v v

x y z xy v v yz v v zx v v

A B C

  

      

   …