Chuyên đề Hình học 10 - Chương 8 Tích vô hướng và ứng dụng (Có đáp án và lời giải)

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với

là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

đã biết ở lớp 9.

§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Với mỗi góc ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn

vị sao cho . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là

Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu .

Giả sử điểm M có tọa độ . Khi đó

Khi , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu .

Khi , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu .

Các số được gọi là các giá trị lượng giác của góc .

Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:

+ Góc bất kì từ đến có sin thuộc đoạn .

+ Góc bất kì từ đến có cosin thuộc đoạn .

+ Với :

+ Với :



0 180     

0 180

(0 180 )      ·xOM    sin

 cos

  0 0 ; M x y 0 0 sin , cos . y x    

0 0 x  0

0

y x  tan

0 0 y  0

0

x y  cot

sin ,cos ,tan ,cot     

0 180   0;1

0 180   1;1 

  0 ;90    sin ,cos ,tan ,cot 0    

  90 ;180    sin 0,cos ,tan ,cot 0      

Chủ đề 8

Vấn đề cần nắm:

1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

3. Các hệ thức lượng trong tam giác

0 180    

STUDY TIP

- Để nhớ định nghĩa giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có các câu sau:

Cô sin (cos) là trục nằm ngang (trục hoành).

Song song với nó là chàng cô tang (cot).

Còn sin thì đứng thẳng bang.

Đối diện với nó có tang (tan) đứng chờ.

DeThi.edu.vn

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

1. . 4.

2. . 5.

3. . 6.

3.Tính chất

a) Hai góc phụ nhau

1. . 4.

2. . 5.

b) Hai góc bù nhau

1. . 4.

2. . 5.

4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị lượng giác

0 1

1 0

0 1 ||

|| 1 0

Ghi nhớ:

Cách 1: Quy tắc bàn tay trái.

- Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong).

Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ.

2 2 sin cos 1       tan .cot 1 sin ,cos 0      

sin tan (cos 0) cos

      2

2 1 1 tan cos    

  cos cot sin 0 sin

      2

2 1 1 cot sin    

  sin cos 90       tan cot 90    

  cos sin 90       cot tan 90    

  sin sin 180       tan tan 180    

  cos cos 180       cot cot 180    

 0 30 45 60 90

sin 1 2

2 2

3 2

cos 3 2

2 2

1 2

tan 1

3 3

cot 3

1

3

DeThi.edu.vn

- Bước 2:

Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3.

Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn:

5. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ và

. Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ

và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và và . Nếu thì ta nói

rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc

Lời giải

b) Nhận xét:

Từ định nghĩa ta có .

+ khi và chỉ khi và cùng hướng.

+ khi và chỉ khi và ngược hướng.

B. Các dạng toán điển hình

Xác định tọa độ của điểm M

Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa..

sin 2 số ngón tay bên phải 

cos 2 số ngón tay bên trái 

0 ,30 ,45 ,60 ,90     

4 sin ,cos 2 2 sè vÞ trÝ sè vÞ trÝ     

  3 sin120 sin 180 60 sin 60 2    

  2 cos135 cos 180 45 cos45 2    

a



b



0 

OA a   

OB b    ·AOB 0 180 a



b



a



b



  ,a b



  90 ,a b   

a



b



a b   

b a   

   , , a b b a   

  , 0 a b 



a



b



  1 0 , 8 a b   

a



b



STUDY TIP

Trong định nghĩa thì O được lấy tùy ý. Tuy nhiên trong giải toán ta …