Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học 10 - Bài 2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

I. PHƯƠNG TRÌNH

1. Không có tham số

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Câu 1. Giải phương trình 3 5 3 5 4 2 5 2 4 5 2 2 3 2 2 3 x x x x x x x x         

Lời giải

+Biến đổi phương trình tương đương : 2 3 2 0 x x    1

2

x

x

   

Câu 2. Giải phương trình

2 4 1 2 2 3 1 2       ( )( ). x x x x

Lời giải

Điều kiện: 1 . x

Nhận thấy 1  x là một nghiệm của phương trình.

Xét 1 . x Khi đó phương trình đã cho tương đương với

   

3 2 4 1 2 2 2 3 3 2 12          x x x x x

 

2

2

4 3 4 3 3 2 4 1 2 2 3 3

4 4 3 1 3 0 1 1 2 2 3 3

           

                

( ) ( ) ( )( )

( ) . ( )

x x x x x x x

x x x x

Vì 1  x nên 1 0   x và 2 3 1  . x Suy ra 4 4 3 1 2 2 3 3      

, x x

vì vậy

2 4 4 1 3 0 1 2 2 3 3         

( ) . x x x

Do đó phương trình 1 3 0 3      ( ) . x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 1  x hoặc 3 . x

Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :

3 3 3 1 1 5 x x x   Lời giải

  3 2 3 3 3 3 3 1 1 5 2 3 1 1 1 5

5 3 2 3 3 1 5 4 5 0 0

2

5

2

          

        



x x x x x x x x

x x x x x x ;x .

Thử lại ta thấy phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x = .

DeThi.edu.vn

Câu 4. Giải phương trình:    2 2 6 1 2 1 2 3 1 x x x x x      ,với x R  .

Hướng dẫn giải.

   2 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 0 x x x x x x         

   2 2 2 3 2 1 2 3 2 0 x x x x x         

2

2

2 3 2 1

2 3 2

x x x

x x

      

    

2

2

1 3 15 2 3 2 1 2 3 3 6 2 0

x x x x x x x

              

Câu 5. Giải phương trình 2 3 2 1 2 3 x x x x     . Hướng dẫn giải.

2 2 3 3 2 1 2 3 (2 3)(x 1) 3 2 1 x x x x x x x x             

Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3

Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 3 2 2 10 4 0 x y xy x y       .

Hướng dẫn giải Ta có:

    

2 2

2 2 2 3 2 2 10 4 0

2 1 1 4 8 4 7

x y xy x y

x x y y y y

     

        

    2 2 1 2 2 7 x y y      

   3 1 3 7 y x y x      

Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:

3 1 7

3 1

y y

y x

       

; 3 1 7

3 1

y y

y x

       

; 3 1 1

3 7

y y

y x

      

; 3 1 1

3 7

y y

y x

       

Giải ba hệ phương trình trên ta được:         ; 3;1 , 1; 3 , 7; 3 x y     .

Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:

2 2 1 5 6 1 5

x x x x

    

Hướng dẫn giải

Đặt 1 5 t x x    ta được   

2

2 2 4 1 2 2 2 0 2 t t t t t

      

DeThi.edu.vn

Giải ta được 2 t  suy ra 1, 5 x x  

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải phương trình trên tập số thực: 2 x + x +9 = 2 4 x +1 x (1). Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 .

      2 2 9 2 4 1 2 5 1 2 2 1 x x x x x x x x            

1 x  g không là nghiệm của phương trình.

2 2 2 1: (1) 5 2 1 1 1 x x x pt x x

               g .

Đặt 2 t = 1 x

x





.

Phương trình trở thành: 2t +5 = 2t +1 2 t = 3  .

Khi đó ta có: 2 x +1 = 3x 6  20+4 7 x = 9  . Vậy 20 4 7 9 S           

.

Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số thực:   2 2 2 3 7 5 2 1 x x x x     .

Hướng dẫn giải

Phương trình (1)   2 2 2 1 5 2 1 3 6 0 x x x x       .

Đặt 2 2 1 t x  . Ta có phương trình:

  2 5 3 6 0 t x t x      (*).

      2 2 5 4 3 6 1 x x x           .

Phương trình (*)

2 3 2 1 3 2 t x x      2 2 2 1 2 t x x x     

2

2 7 2 7

x

x x

        

.

Vậy   2;2 7 S   .

Bài 3. Giải phương trình sau trên tập số thực:     2 2 2 2 5 2 2 1 3 0 x x x x x x x          .

Hướng dẫn giải

t 3 t x 2     

2 x 2 0

x 4x 3 0

       

DeThi.edu.vn