Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chuyên đề Nhị thức Niu-tơn (Có lời giải chi tiết)

BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON

Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

 

 

2 2 2

3 3 2 2 3 2 ;

3 3 .

a b a ab b

a b a a b ab b

   

    

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của a và

b . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển  

n a b  khi   4;5 n

không?

 

4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4

4 3 2 2 3 4 4 6 4

a b C a C a b C a b C ab C b

a a b a b ab b

     

    

Ví dụ 1: Khai triển  

4 2 1 x  .

Lời giải

Thay 2 a x  và 1 b  trong công thức khai triển của  

4 a b  , ta được:

CHƯƠN

VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP

LÝ THUYẾT. I

Sơ đồ hình cây của (?+ ?)4

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?

DeThi.edu.vn

          4 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2

1 4

1 2 4 2 1

16 3

1 6 2 1 4 2 1

2 2 8

x x x x x

x x x x

       

   







Ví dụ 2: Khai triển  

4 2 x  .

Lời giải

Thay a x  và 2 b  trong công thức khai triển của  

4 a b  , ta được:

          4 2 3 4 4 3 2

4 3 2 8

4

24 32 6

2 4 2 6 2 2

1

2 x

x x x

x x x x

x

        





 



 



 

5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5

5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5

a b C a C a b C a b C a b C ab C b

a a b a b a b ab b

      

     

Ví dụ 3: Khai triển  

5 3 x 

Lời giải

Thay a x  và 3 b  trong công thức khai triển của  

5 a b  , ta được:

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2 ( 3) 5 3 10 3 10 3 5 3 3

15 90 270 405 243

x x x x x x

x x x x x

          

     

.

Ví dụ 4: Khai triển  

5 3 2 x 

Lời giải

                  5 5 4 3 2 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 x C x C x C x C x C x C            

5 4 3 2 243 2430 1080 720 240 32 x x x x x      

Ví dụ 5:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của  

4 1 0,05  để tính giá trị gần đúng của 4 1,05 .

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 4 1,05 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận

được ở câu a

Lời giải

a)  

4 0 4 1 3 1 4 4 1 0,05 1 1 0,05 1 0,2 1,2 C C     

b) Cách bấm: 1.05^4=

Hiển thị

DeThi.edu.vn

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là 0,01550625.

Câu 1. Khai triển các đa thức:

a)  

4 3 x  ; b)  

4 3 2 x y  ;

c)     4 4 5 5 x x    ; d)  

5 2 x y 

Lời giải

a)           4 2 3 4 0 4 1 3 2 2 1 0 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 x C x C x C x C x C          

4 3 2 12 54 108 81 x x x x     

b)               4 4 3 1 2 2 3 4 0 1 2 1 0 4 4 4 4 4 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 x y C x C x y C x y C x y C y          

4 3 2 2 3 4 81 216 216 96 16 x x y x y xy y     

c)     4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 0 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 x x C x C x C x C x C C x         

1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 C x C x C x C    

    0 4 2 2 2 4 4 4 2 4 2 4 4 4 2 5 5 2. 150 625 2 300 1250 C x C x C x x x x         

d)  

5 2 x y          2 3 4 5 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 5 5 5 5 5 ( 2 ) 2 2 2 2 C x C x y C x y C x y C x y C y           

5 4 3 2 2 3 4 5 10 40 80 80 32 x x y x y x y xy y      

Câu 2. Tìm hệ số của 4x trong khai triển của  

5 3 1 x 

Lời giải

Số hạng thứ 4 của khai triển là    2 3 3 2 5 3 1 90 C x x   . Vậy hệ số của 4x trong khai triển là 90 

.

Câu 3. Biểu diễn    

5 5 3 2 3 2    dưới dạng 2 a b  với ,a b là các số nguyên.

BÀI TẬP.

DeThi.edu.vn