268 Bài tập toán nâng cao Lớp 9

. 1

268 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9

PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.

4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho :

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :

a) b)

c) d)

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn

19. Giải phương trình : . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

21. Cho .

Hãy so sánh S và .

22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

a)

7

a b ab 2  

bc ca ab a b c a b c     

a b a b   

2

1 A x 4x 9   

7 15 và 7  17 5 1 và 45  

23 2 19 và 27 3  3 2 và 2 3

2 3

2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x        

1 1 1 1 S .... ... 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1          1998 2.1999

a

x y 2 y x  

DeThi.edu.vn

. 2

b)

c) .

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

a)

b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .

27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng : .

32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .

33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

a) ab và là số vô tỉ.

b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :

39. Chứng minh rằng bằng hoặc 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?

2 2

2 2 x y x y 0 y x y x                

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x                        

1 2 

3 m n 

2 2

2 2 x y x y 4 3 y x y x           2 2 2

2 2 2 x y z x y z y z x y z x     

  x y x y   

2

1 A x 6x 17    x y z A y z x   

a b

a b

a b c d 2 b c c d d a a b      …