Bài tập Hình học Lớp 9 nâng cao (Có lời giải)

Bài hình khó của giangtienhai từ lâu chưa giải đáp

Đề bài: Cho tam giác ABC cò 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H. Vẽ EG vuông góc với OA tại G. Gọi I và K lần lượt là trung

điểm của BE và CF. Chứng minh: IK là trung trực của đoạn thẳng DG.

Yêu cầu: Giải bài toán trên bằng kiến thức THCS

Hướng dẫn giải

Cách 1

Gọi M là điểm đối xứng E qua G, N là điểm đối xứng B qua D. Vẽ tia tiếp tuyến

Ax tại A của đường tròn (O)

=> AM = AE và AB = AN

Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được

Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong)

mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng.

Từ từ giác BFEC nội tiếp dễ thấy góc ABC = góc AEF => Dễ dàng chứng minh

được góc GAE = góc BAD => góc EAM = góc BAN

=> góc EAG = góc BAM. Kết hợp với AM = AE và AB = AN

=> (c – g – c) => BM = EN

DeThi.edu.vn

Dễ thấy GI là đường trung bình của tam giác BME => BM = 2IG. Tương tự DI

là đường trung bình tam giác BEN => EN = 2DI. Mà BM = EN => ID = IG

Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG.

Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG

Cách 2: Chứng minh phức tạp và dài dòng hơn rất nhiều

Cho AG cắt BC tại T, AD cắt EF tại S. Gọi N, M, P, Q lần lượt là hình chiếu của

E, S, T, B trên đường thẳng DG. Kẻ DV vuông góc với BE tại V. Kẻ tia tiếp

tuyến Ax tại A của đường tròn (O).

Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được

Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong)

mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng.

Các tam giác DST và SGT vuông nên theo định lý pitago ta có

SD2 + DT2 = ST2 = SG2 + GT2 => SD2 – SG2 = GT2 – DT2

Từ SM và TP cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago ta có

(SM2 + MD2) – (SM2 + MG2) = (PT2 + PG2) – (PT2 + DP2)

 MD2 – MG2 = PG2 – PD2  (MD – MG)(MD + MG) = (PG – PD)(PG + PD)

 (MD – MG).DG = (PG – PD).DG  MD – MG = PG – PD

 (DG – MG) – MG = ( DG – PD) – PD  MG = DP.

DeThi.edu.vn

Dễ dàng chứng minh được (g - g) =>

(g - g) => . Lấy 2 đẳng thức nhân nhau vế theo vế

Ta suy ra . Dễ thấy NE // MS và BQ // PT. Áp dụng định lí talet

. Mà MG = DP => NG = DQ.

Từ NE và BQ cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago

BG2 – BD2 = (QG2 + BQ2) – (DQ2 + BQ2) = QG2 – DQ2 = (DQ + DG)2 – DQ2

DE2 – EG2 = (DN2 + NE2) – (NG2 + NE2) = DN2 – NG2 = (NG + DG)2 – NG2

Mà DQ = NG => BG2 – BD2 = DE2 – EG2  BG2 + EG2 = DE2 + BD2

Từ DV vuông góc với BE ta có

DE2 + BD2 = (BV2 + DV2) + ( EV2 + DV2) = 2DV2 + BV2 +EV2

= 2DV2 +(BV + EV)2 – 2BV.EV = 2DV2 + BE2 – 2.(BI – IV).(IE + IV)

=

=

= =

Vậy DE2 + BD2 = 2DI2 +

Lập luận tương tự ta cũng có BG2 + EG2 = 2IG2 +

Mà BG2 + EG2 = DE2 + BD2 => ID = IG

Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG.

Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG

--------------------------------------------------------------------------------------------------

DeThi.edu.vn

Nhận xét

Đây quả là một bài toán rất khó. Tuy nhiên, cái khó của bài toán này chính là

việc chọn điểm phụ hợp lý. Nếu chọn điểm phụ phù hợp sẽ cho cách giải rất

nhanh chóng chính là cách 1. Ngược lại với cách 2 sử dụng cách chứng minh

phức tạp

Ở cách 2 hầu như nhìn vào bài toán này với công cụ trợ giúp là định lý pitago,

định lý talet và tam giác đồng dạng.

Việc chứng minh ID = IG thật sự không đơn giản nếu như không kẻ thêm một

đường phụ nào. Tuy nhiên nó lại rất dễ với cách 1. Nhưng lại rất khó đối với

cách 2 bởi vì nếu như sử dụng được công thức đường trung tuyến thì hệ thức

BG2 + EG2 = DE2 + BD2 cũng rất khó để chứng minh. Chứng minh hệ thức này

có thể suy ra từ các tam giác đồng dạng nhưng sẽ đưa về các dạng lượng giác 3

góc A, B, C trong tam giác ABC. Kiến thức này ở phổ thông mới học và sử dụng

DeThi.edu.vn