Bài tập Hình học Lớp 9 thử sức của thầy Giang Tiền Hải

Bài hình thử sức của thầy Giang Tiền Hải

Đề bài: Cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi. Cho AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại G.

Gọi GM, GN, GP, GQ lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác

AGB, BGC, DGC, AGD

1/ Chứng minh: MN, AC, PQ đồng quy tại điểm H và MQ, BD, NP đồng quy

tại điểm K

2/ Chứng minh: 3 điểm E, H, K thẳng hàng

Hướng dẫn giải

DeThi.edu.vn

1/ Dễ thấy góc AGB = 2 góc BGM ; góc DGC = 2 góc DGP, mà góc AGB = góc

BGM nên suy ra góc BGM = góc DGP => góc MGP = góc BGM + góc BGP

= góc DGP + góc BGP = góc BGD = 180* => 3 điểm M, G, P thẳng hàng. Chứng

minh tương tự ta cũng có 3 điểm Q, G, N thẳng hàng.

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Ta cần sử dụng định lý Menelaus ( học sinh và thầy cô có thể tham khảo trên

mạng, ở đây không chứng lại). Cho MN cắt AC tại H. Ta chứng minh 3 điểm

H, Q, P thẳng hàng.

Áp dụng định lý menulaus cho tam giác ABC với 3 điểm H, M, N

=> =>

=> =>

=> 3 điểm H, Q, P thẳng hàng theo định lý menulaus trong tam giác ACD với 3

điểm H, Q, P => MN, AC, PQ đồng quy tại điểm H

Chứng minh tương tự ta cũng có MQ, BD, NP đồng quy tại điểm K

2/ Cho AD cắt BC tại F. Đặt =>

=> => =>

Theo như trên => (1)

Áp dụng định lý menulaus cho tam giác AGD với 3 điểm F, B, C

=> => (2)

Áp dụng định lý menulaus cho tam giác DGC với 3 điểm E, A, B

=> => (3)

DeThi.edu.vn

Từ (1), (2), (3) =>

=> 3 điểm E, H, F thẳng hàng theo định lý menaus trong tam giác ACD với 3

điểm E, H, F. Chứng minh tương tự ta cũng có 3 điểm E, K, F thẳng hàng hay 4

điểm E, H, F, K thẳng hàng suy ra 3 điểm E, H, K thẳng hàng.

DeThi.edu.vn